Решение а).

Общее решение простейшего ДУ второго порядка находят, выполняя последовательно два интегрирования, и записывают в виде:

.

Общее решение дифференциального уравнения второго порядка должно обязательно содержать две разные произвольные постоянные.

Данное уравнение дважды проинтегрируем. После первого интегрирования получим: . Интеграл вычислим (с точностью до постоянного слагаемого) методом интегрирования по частям. Получим:

. Тогда .

После второго интегрирования получим: .

Вычислим интегралы (с точностью до постоянного слагаемого). Получим:

;

; .

Тогда

.

Ответ: .

Решение б). Сначала найдём общее решение ДУ в виде: , где - фундаментальная система его частных решений.

Общее решение однородного линейного ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , где - фундаментальная система его частных решений; -произвольные постоянные.

Фундаментальная система решений строится на основе характера корней характеристического уравнения . А именно:

1) если - пара различных действительных корней характеристического уравнения, то ФСР имеет вид ;

2) если - пара одинаковых действительных корней, то ФСР имеет вид ;

3) если - пара комплексно-сопряжённых корней, то ФСР имеет вид .

Корни характеристического уравнения , являющегося квадратным, находят на множестве комплексных чисел по формулам:

1) если дискриминант уравнения , то ;

2) если дискриминант уравнения , то .

Для нахождения ФСР, составим характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения и найдём его корни на множестве комплексных чисел. Так как дискриминант , то , , т.е. характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, ФСР имеет вид .

Тогда общее решение данного ДУ запишется в виде: .

Теперь найдём частное решение данного ДУ, удовлетворяющее начальным условиям: , . Для этого сначала найдём производную общего решения: . Затем подставим начальные данные в выражения для общего решения и его производной, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения значений произвольных постоянных и :

.

Решив систему, найдём: , . Тогда частное решение данного ДУ запишется в виде: .

Ответ: ; .