Мгновенный центр скоростей (МЦС)

При непоступательном движении плоской фигуры у нее в каждый момент времени имеется точка Q, ускорение которой равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений. Определяется положение центра Q, если известны ускорение какой-нибудь точки А фигуры и величины и , следующим путем:

1) находим значение угла , из формулы ;

2) от точки А под углом , к вектору проводим прямую АЕ (рис.45);

при этом прямая АЕ должна быть отклонена от в сторону вращения фигуры, если вращение является ускоренным, и против вращения, если оно является замедленным, т. е. в сторону направления углового ускорения ;

3) откладываем вдоль линии АЕ отрезок AQ, равный

.

Рис.45

Построенная таким путем точка Q и будет мгно­венным центром ускорений. В самом деле, известно что

,

где численно . Подставляя сюда значение AQ находим, что . Кроме того, вектор должен образовывать с ли­нией AQ угол , следовательно, вектор параллелен , но направлен в про­тивоположную сторону. Поэтому и .

Если точку Q выбрать за полюс, то так как , ускорение любой точки М тела, будет

.

При этом численно

.

Следовательно, ускорения точек плоской фигуры определяются в данный мо­мент времени так, как если бы движение фигуры, было вращением вокруг мгновенного центра ускорений Q. При этом

,

т.е. ускорения точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгно­венного центра ускорений. Картина распределения ускорений точек плоской фигуры в данный момент времени показана на рис.46.

Следует иметь в виду, что положения мгновенного центра скоростей Р и мгно­венного центра ускорений Q в данный момент времени не совпадают. Например, если колесо катится по прямолинейному рельсу (см. рис.47), причем скорость его центра С постоянна (), то мгновенный центр скоростей находится в точ­ке Р (), но при этом, как было показано ; следовательно, точка Р не является одновременно мгновенным центром ускорений.

Рис.46 Рис.47

Мгновенный центр ускорений в этом случае находится, очевидно, в точке С, так как она дви­жется равномерно и прямолинейно и . Центры скоростей и ускорений сов­падают тогда, когда фигура (тело) вращается вокруг неподвижной оси.

19. -

20. Теорема о сложении ускорений. Абсолютное ускорение, характери-зующее изменение абсолютной скорости в абсолютном движении, найдем, про-дифференцировав по времени векторное равенство (1.84):

(1.87)

1 группа - производные только от векторов
2 группа - производные только от относительных координат;
3 группа - производные от векторов и относительных координат
Каждая из групп соответствует некоторому ускорению. Переносное ускорение - вычисляется, как если бы точка М покоилась по отношению подвижной системы осей (x1, y1, z1 = const) и перемещалась вместе с ними по отношению к неподвижной системе;
- вычисляется, как если бы координаты x1, y1, z1 менялись, а векторы были постоянны.
Последнее слагаемое называют п о в о р о т н ы м ускорением или ускорением Кориолиса - по имени французского ученого Гюстава Кориолиса (1792-1843).

, используя формулы Пуассона
; ; , получим

итак

(1.87)

Формула абсолютного ускорения точки в сложном движении принимает следующий вид

Абсолютное ускорение точки в сложном движении равно геометрической сумме ее переносного, относительного и поворотного ускорений.
Модуль и направление ускорения Кориолиса. Поворотное ускорение характеризует одновременно и изменение вектора переносной скорости в отно-сительном движении, и изменение вектора относительной скорости в перенос-ном движении (рис. 1.74).
Модуль поворотного ускорения, как это следует из определения вектор-ного произведения

(1.89)

Поворотное ускорение может быть равно нулю в трех случаях: или , или , или относительная скорость параллельна оси переносного вращения (например, точка перемещается по образующей цилиндра, вращающегося вокруг оси своей симметрии).

а б

Рис. 1.74 Рис. 1.75

Для определения направления поворотного ускорения используется или обычное правило векторного произведения, или правило Н.Е.Жуковского. Рас-смотрим оба этих правила. Как известно, вектор векторного произведения 2() перпендикулярен плоскости перемножаемых векторов и направлен в ту сторону, откуда поворот первого вектора в произведении ко второму на наименьший угол виден против движения часовой стрелки (рис. 1.75а).
Согласно правилу Н.Е.Жуковского, (рис. 1.75б) чтобы найти направление поворотного ускорения, нужно спроецировать относительную скорость точки на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения , и повернуть эту проекцию в той же плоскости на 90° в сторону переносного вращения (рисунок 1.75б).

21. Теорема о сложении скоростей.
Для установления связи между скоростями точки в двух системах отсчета воспользуемся следующими векторными равенствами (см. рис. 1.73):

(1.79)
(1.80)
(1.81)

Поскольку при определении относительной скорости можно " забыть" о переносном движении, т.е. считать оси о1х1у1z1 неподвижными, продифференцировав равенство (1.80) в этом предположении, найдем

(1.82)

Таким образом, относительная скорость точки в сложном движении оп-ределяется обычными методами кинематики точки для неподвижных систем координат.
При определении переносной скорости исключаем относительное движе-ние, т.е. полагаем | | = const. Продифференцировав векторное равенство (1.80) в этом предположении, найдем

Учитывая, что = - скорость начала подвижной системы координат, а , где - угловая скорость переносного движения системы, окончательно получаем

(1.83)

Формула (1.83) определяет вектор переносной скорости точки в общем случае свободного переносного движения. В частных случаях переносного движения формула (1.83) упрощается, например при поступательном переносном движении = 0, а при вращательном переносном

Абсолютную скорость точки найдем, продифференцировав по времени векторное равенство (1.81)

Учитывая, что а также равенства (1.82) и (1.83), получаем

(1.84)

Формула (1.84) представляет собой математическую запись теоремы о сложении скоростей в сложном движении: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме ее переносной и относительной скоростей. Модуль определяем по теореме косинусов

(1.85)

Следует отметить, что в самолетовождении теорема о сложении скоро-стей применяется в следующей интерпретации: путевая скорость самолета равна геометрической сумме скорости воздуха и воздушной скорости самолета :

(1.86)

22. -

23. Законыдинамики.
Аппаратом решения задач динамики материальной точки являются законы Ньютона: 1). Материальный объект находится в равновесии (в состоянии покоя или равномерного движения), если на него не действуют силы, либо если равнодействующая равна нулю. 2). Единственной причиной возможного движения материального объекта является приложенная к нему внешняя сила. 3). Действие рождает противодействие. 4) Закон независимости действия сил. Если к материальному объекту приложено несколько сил, то сообщаемое этому объекту ускорение равно геометрической сумме ускорений, сообщаемых каждой силой в отдельности. R = F₁ + F₂ + … + F_n; a = a₁ + a₂ + … + a_n; a₁ = F₁/m; a₂ = F₂/m; a_n = F_n/m.