Б). Силовые критерии и параметры трещиностойкости

Построение силовых критериев роста трещин базируется на анали­зе напряженно-деформированного состояния материала в окрестностях вершин трещины. При этом в качестве критериальной величины исполь­зуют либо компоненты напряжений, либо интенсивность поля напряже­ний. Первый силовой критерий роста трещин - критерий максимальных растягивающих напряжений был сформулирован Вейхардтом еще в 1907 г. [28, 59]. Он постулировал, что трещина получает возмож­ность распространяться, когда напряжение на некотором расстоянии от ее вершины достигает предельной величины. Однако широкое прак­тическое применение силовые критерии получили лишь полвека спус­тя благодаря работам Ирвина, который ввел понятие коэффициента интенсивности напряжений К, сформулировал силовой К -критерий рос­та трещин и показал, что критическое значение коэффициента интен­сивности напряжений К_с, определенное экспериментально, может слу­жить параметром, характеризующим трещиностойкость материалов.

В настоящее время К -критерий является одним из основных сило­вых критериев в механике трещин. Он оказался особенно эффективным для инженерных расчетов элементов и конструкций в целом на проч­ность, так как позволяет с применением сравнительно простых фор­мул оценивать допустимые нагрузки для изделий сложной конфигура­ции, содержащих дефекты известного размера, или, наоборот, опре­делять допустимые размеры дефектов при заданных условиях нагружения изделий. Однако следует отметить, что в отличие от энергетических параметров трещиностойкости физическая интерпретация и тео­ретический расчет силового параметра трещиностойкости K _с, исходя из состава и структуры конкретного материала, затруднены [1, 4].

Введение К -критерия базируется на анализе поля напряжений и перемещений в окрестностях фронта центральной или краевой щелевой трещины длиной 2 а или а соответственно в напряженной беско­нечной пластине из однородного и изотропного линейно-упругого ма­териала (рис. 1.10, а).

Методами теории упругости доказывается, что вне зависимости от типа нагружения (I, II или III) напряжения вблизи вершины трещины пропорциональны приложенному напряжению и при прочих равных условиях тем больше, чем больше размер трещи­ны. Далее доказывается, что напряжения стремятся к бесконечности в вершине трещины, а по мере удаления от нее убывают пропорцио­нально корню квадратному из расстояния (рис. 1.10, 6). Напряжения, действующие вблизи вершины трещины в напряженной бесконечной пластине из однородного и изотропного линейно-упругого материала, аналитически описываются выражением [7-9]

где σ - приложенное растягивающее или сдвиговое напряжение; а - длина краевой или полудлина центральной щелевой трещины; r и θ - полярные координаты (см. рис„ 1.10, а); К= σ (π а)^1/2 - так называемый коэффициент интенсивности напряжений.

Из выражения (1.33) следует, что поле напряжений вблизи верши­ны трещины в бесконечной пластине полностью определяется коэффи­циентом интенсивности напряжений, В механике трещин, однородных и изотропных линейно-упругих материалов показано [7-9], что выражение (1.33) справедливо не только для идеализированной бесконечной пластины, но и для реальных твердых тел, имеющих конечные раз­меры, разнообразную конфигурацию и содержащих трещины любого из трех простых типов (I, II или III). Однако при этом выражение для коэффициента интенсивности напряжений К необходимо представить в более общем виде:

где Y- геометрический фактор, учитывающий форму, размеры тела и характер его нагружения.

Таким образом, коэффициент интенсивности напряжений К является мерой всех напряжений и деформаций вблизи вершин трещин в линей­но-упругих телах вне зависимости от их размеров, конфигурации и типа нагружения и, следовательно, определяет условия, при которых оказывается возможным распространение в них трещин. Это дает ос­нование рассматривать параметр К как силу, движущую трещины в однородных и изотропных линейно-упругих материалах, и принять его в качестве критериальной величины при формулировании критерия роста трещин: трещина получает возможность распространяться в том случае, когда коэффициент интенсивности напряжений К достигнет или превысит критическую величину K_с [7, 9J:

Критическая величина коэффициента интенсивности напряжений К_с характеризует сопротивление материала росту трещин, т.е. является мерой его трещиностойкости. Она может быть определена эксперимен­тально или рассчитана теоретически и в случае однородных и изо­тропных линейно-уцругих материалов предполагается независимой от длины трещины и направления ее распространения.

При теоретической оценке параметра трещиностойкости К_с одно­родных и изотропных линейно-упругих материалов предполагается, что трещина является идеально острой и радиус кривизны ее вершины имеет размеры порядка атомных. При выполнении этих условий [4]

где σ _теор - теоретическая прочность линейно-упругого материала, рассчитываемая исходя из его химического состава и структуры; ρ - радиус кривизны вершины трещины, принимаемый равным постоянной решетки а (ρ ≈ а).

Введение силового параметра К_R, характеризующего сопротивление однородных и изотропных линейно-упругих материалов росту трещин и равного критическому значению коэффициента интенсивности напряжений К_с, позволяет представить К -критерий графически по аналогии с G -критерием (см. рис. 1.3), заменив при этом энер­гетические параметры трещинодвижущей силы G и сопротивления росту трещин R на соответствующие силовые параметры К и K_R.

В механике трещин показано [7-9], что силовой К -критерий рос­та трещин, базирующийся на анализе упругого поля напряжений, мо­жет быть распространен на однородные и изотропные псевдоуцругие материалы, поскольку наличие небольшого локального объема пласти­чески деформированного материала вблизи вершины трещины сказывает­ся только на распределении напряжений в малой области, непосред­ственно прилегающей к вершине трещины. Так, если в линейно-упругих материалах напряжения стремятся к бесконечности в вершине трещины (см. рис. 1.10, б), то в псевдоупругих материалах они ограничены по величине вследствие развития пластических деформаций, причем уровень и распределение напряжений в пластической зоне зависят от характера напряженного состояния.

Например, для трещин типа I при плоском напряженном состоя­ния напряжения в пластической зоне равны пределу текучести мате­риала σ _т при одноосном растяжении (рис.I.11, а), в то время как при объемном напряженном состоянии (плоской деформации) напряже­ния равны σ _т только непосредственно в вершине трещины; после чегоони резко возрастают, достигая величины З σ _т,, принимаемой заэффективное значение предела текучести материала при плоской де­формации (рис.I.11, б).

За пределами зоны пластичности поле напряжений в окрестности вершины трещины в псевдоупругих материалах описывается теми же асимптотическими формулами (1.33), что и в случае линейно-упругих материалов. Это дает основание считать, что коэффициент интенсив­ности напряжений для псевдоупрутих материалов по аналогии с линейно-упругими является мерой всех напряжений и деформаций в окрест­ности вершины трещины и, следовательно, является параметром тре­щинодвижущих сил.

Доказывается, что в случае псевдоупрутих материалов коэффици­ент интенсивности напряжений К можно рассчитывать по той же фор­муле (1.34), что и в случае линейно-упругих материалов, если ввести поправку на пластичность. При этом учитывается, что в результате развития пластических деформаций в окрестности вершины трещины перемещения оказываются больше, а жесткость - меньше, чем в линейно-упругих материалах, т.е. псевдоупругий материал с тре­щиной по сравнению с линейно-упругим ведет себя так, будто он со­держит трещину несколько большего размера, чем на самом деле. Ис­ходя из этого вводится понятие эквивалентной упругой трещины, длина или полудлина которой (а _эф) больше физической (реальной) на величину половины длины зоны пластических деформаций:

а _эф= а+r_пл (1.37)

где а - длина краевой или полудлина центральной трещины; r _пл - радиус зоны локальных пластических деформаций.

Заменив в формуле (1.34) длину (полудлину) реальной трещины а на длину (полудлину) эквивалентной упругой трещины а _эф, можно учесть влияние локальной зоны пластичности на величину ко­эффициента интенсивности напряжений. В этом как раз и заключает­ся так называемая поправка Ирвина на пластичность при расчетах трещинодвижущей силы К в случае псевдоупрутих материалов.

Поскольку малая локальная зона пластичности в псевдоупрутих материалах окружена упругим полем, характеризуемым параметром К, то размер этой зоны и интенсивность деформации в ней полностью контролируются коэффициентом интенсивности напряжений, а также характеристиками сопротивления материала развитию пластических деформаций - пределом текучести и коэффициентом деформационного упрочнения [7-9]. При этом размер пластической зоны во многом зависит от степени стеснения пластических деформаций, которая резко возрастает при переходе от плоского напряженного к плоско­му деформированному состоянию.

Протяженность зоны пластических деформаций (d_пл) при θ =0 для трещин типа I в условиях плоского напряженного состояния при­ближенно может быть оценена по формуле Ирвина [7-9J:

где К - коэффициент интенсивности напряжений; σ _т - предел те­кучести материала.

С учетом стеснения пластических деформаций полагают, что при плоском деформированном состоянии протяженность пластической зо­ны примерно втрое меньше, чем при плоском напряженном состоянии, т.е

.

В первом приближении считают, что пластическая зона в плоском сечении имеет форму круга, тогда d_пл= 2r _пл, где r_пл - ради ус зоны пласти­ ческих деформаций. Более точно конфигурацию зоны пластичности оце­ нивают с учетом поля напряжений при вершине трещины и критериев пластичности Треска или Мизеса. Например, результирующие выраже­ния, описывающие зависимость расстояния от вершины трещины типа I до границы зоны пластичности r_пл (θ) и полученные с использо­ванием критериев пластичности Мизеса, имеют вид [7]:

- при плоской деформации

- при плоском напряженном состоянии

Используя выражения (1.40) и (I.4I) и принимая в качестве еди­ницы длины величину (К /π σ _т²), конфигурацию зон пластичности, развивающихся вблизи вершины трещины типа I в псевдоупругом ма­териале в условиях плоского напряженного и плоского деформиро­ванного состояний, можно графически изобразить так, как это по­казано на рис.1.12.

Таким образом, форма зон пластичности, развивающихся в псев­доупругих материалах вблизи вершин трещин при плоском напряженном и плоском деформированном состояниях, существенно различны. Кроме того, протяженность зоны пластических деформаций в условиях плос­кой деформации много меньше, чем при плоском напряженном состоя­нии. Поэтому поправка на пластичность при расчетах коэффициента интенсивности напряжений играет наиболее важную роль, когда псевдоупругий материал находится в плоском напряженном состоянии. При плоской деформации пластической поправкой (в силу ее малости) обычно пренебрегают.

Развитие локальных пластических деформаций вблизи вершин трещин в псевдоупругих материалах оказывает существенное влияние не только на величину трещинодвижущей силы К, но и на сопротивление материала росту трещин K_R. Это связано прежде всего с тем, что деформация в пластической зоне увеличивает радиус кривизны вершины трещины ρ и уменьшает тем самым локальные напряжения [4], т.е. стабилизирует трещину механически или, другими словами, повышает сопротивление псевдоупругого материала росту трещин. Одновременно с этим в пластической зоне может происходить нарушение сплошности и однородности материала вследствие неоднородности пла­стической деформации, приводящей к возникновению внутренних напряжений и образованию микродефектов. Это способствует снижению сопротивления псевдоупругого материала росту трещин [4]. Какой из указанных эффектов превалирует, зависит от природы псевдоупругого материала, механизма его пластического деформирования, уровня действующих напряжений. При прочих равных условиях важную роль играет характер напряженно-деформированного состояния, определяющего степень пластического деформирования материала в вершинах трещины.

В силу перечисленных причин сопротивление росту трещин однородных и изотропных псевдоупругих материалов K_R может иметь различную функциональную зависимость от длины трещины. Предполагается, что в условиях плоской деформации, когда степень стеснения пластических деформаций велика, сопротивление росту трещин K_R псевдоупругих материалов сравнительно мало и не зависит от длины трещины (K_R = const). В отличие от этого при плоском

напряженном состоянии К _R может либо возрастать, либо уменьшаться с уваличением длины трещины в зависимости от того, какой процесс превалирует при развитии локальных пластических деформа­ций - затупление вершины трещины или накопление повреждений в зо­не пластичности, т.е. деформационное упрочнение или размягчение материала в локальной зоне соответственно.

В общем случае зависимости K_R от длины трещины - кривые сопро­тивления или K_R-кривые для псевдоупругих материалов при плоской деформации и плоском напряженном состоянии имеют вид, аналогичный R -кривым, приведенным на рис. 1.3. и 1.4. соответственно. Из этих- кривых следует, что в псевдоупругих материалах трещина получает возможность распространяться, когда трещинодвижущая сила К достиг­нет или gревысит сопротивление росту трещин K_R, причем в случае деформационного упрочнения в процессе локального пластического де­формирования критическому распространению трещин предшествует ста­дия ее медленного докритического подрастания. Значение К= K_R, при котором начинается быстрое (катастрофическое) распространение тре­щин в псевдоупругих материалах, принимается за критическое (К_с). При этом величина К_с не является константой псевдоупругого мате­риала и зависит от вида напряженного состояния, при котором она определяется.

В механике трещин показано [7-9], что в случае линейно- и псевдоупрутих материалов силовой К -критерий роста трещин эквива­лентен энергетическому G -критерию, а параметры трещинодвижущих сил К и G, как и параметры трещиностойкости К _с и G_c связаны друг с другом простым соотношением при любом из трех простых типов на­гружения:

G = cK²/E, (1.42)

где Е- модуль упругости; с - константа, учитывающая эффект Пуассона.

Поскольку для однородных и изотропных линейно- и псевдоупрутих материалов параметр G эквивалентен J-интегралу, то взаимо­связь между энергетическим параметром Jи силовым параметром К также описывается формулой (I.42).

Таким образом, при использовании силового К-критерия роста тре­щин применительно к однородным и изотропным линейно-упругим мате­риалам их трещиностойкость может быть охарактеризована единствен­ным параметром К_с - критическим коэффициентом интенсивности на­пряжений, не зависящим от длины трещины, направления ее распро­странения и, следовательно, являющимся материальной константой. Параметр К_с в этом, случае может быть определен экспериментально или рассчитан по формуле (1.36).

В отличие от этого, при использовании К-критерия роста трещин применительно к однородным и изотропным псевдоупругим материалам их трещиностойкость не может быть охарактеризована единственным параметром Кс, так как она зависит от напряженно-реформированного состояния, определяющего интенсивность локального пластического деформирования материала в вершинах трещины и, следовательно, со­противление псевдоупругих материалов росту трещин. Поэтому для характеристики трещиностойкости таких материалов необходимо экс­периментально определять параметры К_с при различных видах напря­женного состояния.

Силовой К-критерий и параметр трещиностойкости К_с находят так­же широкое применение для оценки условий роста трещин и характе­ристики трещиностойкости анизотропных линейно- и псевдоупругих материалов. Введение К-критерия применительно к таким материалам базируется на анализе поля напряжений и перемещений в окрестнос­тях фронта сквозной центральной трещины, расположенной в пластине из однородного линейно-уцругого анизотропного материала параллельно одной из главных осей его упругой симметрии [20-22, 25]. При этом предполагается, что анизотропный материал является ортотропным, имеет небольшую толщину и может быть охарактеризован четырь­мя независимыми упругими постоянными - модулями упругости Е_х и Е_у (Е_х> Е_у), модулем сдвига μ _ху и коэффициентом Пуас­сона υ _xy; трещина располагается вдоль оси х и имеет длину 2а (рис. 1.13, а); к пластине на бесконечности прикладывается нагрузка по одному из трех простых типов.

С использованием методов теории упругости однородных анизот­ропных сред доказывается, что в рассматриваемом ортотропном материале напряжения в окрестности вершин трещины убывают обратно пропорционально корню квадратному из расстояния (аналогично изо­тропным линейно-упругим материалам) вне зависимости от типа на­гружения, а коэффициент интенсивности напряжений по-прежнему оп­ределяется выражением (1.34), причем геометрический фактор У, входящий в это выражение, мало

отличается по величине для анизо­тропных тел по сравнению с изотропными [23, 24]. Однако распре­деление напряжений по углу θ около фронта трещины в ортотропном материале более сложно, чем в изотропном, и зависит от его упругих констант [6, 20, 21, 25]. В общем случае оно может быть описано асимптотическими формулами (1.33), принимающими для орто­тропных материалов следующий вид:

где К - коэффициент интенсивности напряжений; г - расстояние от вершины трещины; θ - полярный угол; р_к (k = I, 2) - комплексные параметры материала, характеризующие степень его ани­зотропии и зависящие от направления ориентации трещины по отноше­нию к главным осям упругой симметрии [26, 60-62].

Для рассматриваемого ортотропного материала комплексные пара­метры связаны с упругими константами b_ij, входящими в обобщен­ный закон Гука (ε =σ |b_ij) следующим характеристическим уравнением [62]:

Функции f_jj(θ, р_к) для ортотропного материала, содержа­щего трещины типа I, П или Ш, приводятся в литературе [25, 61- 62].

Из выражения (1.43) следует, что в отличие от однородных и изотропных линейно-упругих материалов поле напряжений в окрест­ностях вершин трещины в однородных и линейно-упругих анизотроп­ных материалах определяется не только коэффициентом интенсивнос­ти напряжений, но и упругими свойствами материала. Кроме того, оно зависит также от ориентации степени ограничивает возможности использования коэффициента интенсивности напряжений в качестве параметра сил, движущих трещины в линейно-упругих ортотропных материалах.

Так, если трещина неподвижна и сориентирована определенным образом по отношению к главным осям упругой симметрии, то комплексные параметры р_к можно считать материальными константами [61]. При этом поле напряжений в окрестности вершины трещины в ортотропном материале по аналогии с изотропным будет определяться единственным параметром - коэффициентом интенсивности напряжений. Следовательно, в данном случае именно коэффициент интенсивности напряжений будет определять условия, при которых окажется возмож­ным страгивание трещины с места, т.е. будет выступать в качестве трещинодвижущей силы.

В отличие от этого, если направление ориентации трещины по от­ношению к осям упругой симметрии материала изменяется, например в процессе ее распространения, то поле напряжений в окрестности вершины трещины в ортотропном материале будет определяться уже не только коэффициентом интенсивности напряжений, но и комплексными параметрами р_к. Поэтому в этом случае оснований для использования коэффициента интенсивности напряжений в качестве параметра сил, движущих трещины в ортотропных материалах, строго говоря, недостаточно [20, 63].

Исходя из этого, считается [20, 61, 63], что коэффициент интенсивности напряжений может рассматриваться в качестве параметра сил как сдвигающих, так и движущих трещину в ортотропном материале лишь тогда, когда после достижения критических условий pacпpoстранение трещины является себеподобным, т.е. совпадает с направлением ее первоначальной ориентации. Для несебеподобных трещин коэффициент интенсивности напряжений может рассматриваться только как параметр сил, сдвигающих трещину с места.

Важной особенностью однородных анизотропных линейно-упругих материалов по сравнению с изотропными является также то, что при их нагружении поле перемещений в окрестности вершин трещины, ана­логично полю напряжений, определяется не только коэффициентом ин ­ тенсивности напряжений и полярным углом θ, но и комплексными параметрами р_к, характеризующими степень анизотропии материа­ла [21, 61-63].

Это обусловливает то, что даже если трещина в ортотропном материале расположена параллельно главной оси его анизотропии (вдоль оси х, см. рис. I.I3, а) и нагружается по одному из простых типов (I или П), перемещения в окрестности ее вершин при θ =0 оказываются смешанного типа I-П. Этот эффект проявляется в еще большей степени, если трещина ориентирована перпендикулярно или под любым произвольным углом β к главной оси анизотропии ортотропного материала (рис. 1.13, 6, в) [20, 21, 1 61, 63], причем в последнем случае не только поля перемещений, но и поля напряжений оказываются смешанного типа I-П как при симметричном (тип I), так и кососимметричном (тип П) приложении внешней нагрузки, а суммарная трещинодвижущая сила К, = К_I+К_II.

В отличие от изотропных линейно-упругих материалов сопротивле­ние росту трещин анизотропных материалов, выражаемое силовым па­раметром К_R, резко зависит как от направления ориентации трещи­ны по отношению к главным осям упругой симметрии, так и от степени анизотропии материала [61-65]. В общем случае оно может быть охарактеризовано двумя силовыми параметрами К_R,: К^х_R и K^y_R, оп­ределяющими сопротивление анизотропного материала росту трещин вдоль главных осей упругой симметрии, причем если Е_х> Е_{у 9}то K^х_R< K^y_R. При ориентации трещины под произвольным углом β к главной оси анизотропии материала (оси х) сопротивление ее росту при θ =0 связано с параметрами K^х_R и K^y_R соотношением [62]

Из выражения (1.45) следует, что для продольных трещин (β = 0°) сопротивление анизотропного материала их росту в направлении первоначальной ориентации минимально и равно K^х_R. В отличие от этого при аналогичных условиях сопротивление росту трансверсальных трещин (β = 90°) максимально и равно K^y_R,

Предполагается, что в общем случае различие в сопротивлении анизотропного материала росту трещин вдоль главных осей упругой симметрии тем больше, чем больше степень анизотропии его упругих свойств [62]:

где Е_х и Е_у - модули упругости анизотропного материала в продольном и трансверсальной

направлениях соответственно.

Соотношение между сопротивлениями ортотропных линейно-упругих материалов росту трещин вдоль главных осей упругой симметрии бо­лее точно может быть описано выражением [65]

где C и D – коэффициенты, характеризующие степень анизотропии материала и равные

(1.48)

Коэффициенту С соответствует знак " минус" перед вторым членом уравнения (1.48), коэффициенту D- знак " плюс".

Очевидно, что сопротивление гомогенных анизотропных материалов росту трещин при их заданной ориентации относительно главных осей упругой симметрии будет постоянным и независящим от длины трещины только в тех случаях, когда после страгивания с места распространение трещины является себеподобным, т.е. происходит в направлении ее первоначальной ориентации. Если же это условие не выполня­ется, то по мере удлинения трещины сопротивление ее росту может уменьшаться или возрастать в зависимости от траектории распростра­нения, обусловливая ускорение или торможение роста трещины [62]. Следовательно, для несебеподобных трещин условия, при которых про­исходит их страгивание с места и распространение в анизотропном материале, вообще говоря, не совпадают.

Анизотропия сопротивления росту трещин в сочетании со смешанным типом нагружения вершины трещины делают себеподобное распростране­ние трещин в анизотропных материалах маловероятным. Поэтому силовой критерий роста трещин для таких материалов должен в принципе предсказывать не только условия страгивания трещины с места, но и направление ее распространения [62, 66-68].

Силовой К-критерий в явном виде не учитывает направление распространения трещины, хотя и подразумевает, что распространение трещины после достижения критических условий происходит в направлении ее первоначальной ориентации [20, 63]. Поэтому корректная оценка условий роста трещин в анизотропных материалах с помощью этого критерия, строго говоря, возможна только при их себеподобном распространении,

С учетом сказанного выше К-критерий роста трещин применительно к однородным линейно-упругим ортотропным материалам при выполнении условия себеподобного роста трещин можно записать следующим sобразом:

для продольных трещин (β =0°):

для трансверсальных трещин (β = 90°):

для трещин, ориентированных под произвольным углом β к главной оси анизотропии материала

Параметры К^х_с, К^у_с, К^β _с,, определяемые экспериментально при выполнении условия себеподобного распространения трещин, могут служить показателями, характеризующими трещиностойкость ортотропных материалов в продольном, трансверсальной направлении и под любым произвольным углом к ним соответственно.

В механике трещин показано [20-23], что в случае ортотропных линейно-упругих материалов силовой параметр трещинодвижущих сил к связан с аналогичным энергетическим параметром G следующим соотношением:

K² = GЕ* (1.50)

где Е* - эффективный модуль упругости, который для любого из трех простых типов нагружения может быть оценен по формулам (I.I2), Соотношение (1.50) справедливо также для критических значений параметров к и g» если распространение трещины в ортотропном ма­териале является себеподобным.

Таким образом, используя силовой К -критерий роста трещин при­менительно к однородным линейно-упругим ортотропным материалам, следует учитывать, что их трещиностойкость может быть корректно охарактеризована с помощью параметра К_с только в тех случаях, ког­да при его экспериментальном определении направление распростра­нения трещины после достижения критических условий совпадает с на­правлением ее первоначальной ориентации. При этом параметр К _с не является материальной константой и резко зависит от направления ориентации трещины по отношению к главной оси анизотропии матери­ала, что обусловливает необходимость его экспериментального опре­деления при ориентации трещины в двух главных плоскостях упругой симметрии и под произвольным углом к ним. Если же при эксперимен­тальном определении параметра трещиностойкости К_с трещина распро­страняется несебеподобным образом, отклоняясь от направления сво­ей первоначальной ориентации, то полученное значение К_с следует рассматривать как некоторую эффективную характеристику трещино­стойкости ортотропного материала, соответствующую страгиванию трещины с места, но не характеризующую сопротивление материала росту трещин в определенном направлении.

Помимо рассмотренных выше однородных (гомогенных) материалов силовой К-критерий часто используют также на практике для оценки условий роста трещин в гетерогенных материалах. При построении К-критерия применительно к таким материалам широкое распространение получил континуальный подход, в соответствии с которым гете­рогенный материал (в зависимости от его фазовой структуры) рассматривается как квазиоднородная изотропная или анизотропная среда обладающая некоторой усредненной реакцией на внешнее механическое воздействие. Это позволяет при анализе и расчете усредненного поля напряжений в окрестностях вершин трещин в гетерогенных материалах использовать хорошо разработанный математический аппарат механики трещин однородных сред, ввести коэффициент интенсивности напряже­ний К, определяемый формулой (1.34), в качестве параметра сил, движущих трещины в гетерогенных материалах, и сформулировать для них силовой К-критерий роста трещин по аналогии с линейно-упрутими и однородными изотропными [см. формулу (I.35)] или анизо­тропными [см. формулу (I.49) материалами. Однако замена реаль­ного гетерогенного материала идеализированной квазиоднородной сре­дой, хотя значительно и упрощает теоретический анализ, но не поз­воляет учесть микроструктуру полей напряжений в окрестностях вер шин трещин и корректно оценить трещинодвижущие силы и сопротивле­ние росту трещин. Это обусловливает то, что силовой К-критерий, построенный в соответствии с континуальным подходом, оказывается мало приемлемым для достоверного описания условий начала роста трещин во многих реальных гетерогенных материалах (см. гл. 4).

В механике трещин показано [21, 30, 34, 58, 69-79], что нали­чие границ раздела между фазами, являющееся неотъемлемым свойст­вом любого гетерогенного материала, может оказывать существенное влияние на распределение напряжений вблизи вершин трещин и вели­чину трещинодвижущих сил К и проявляться по разному в зависимости от соотношения показателей упругих свойств фаз и ориентации тре­щины по отношению к границе раздела между ними. Это можно нагляд­но проиллюстрировать на примере ряда простых моделей гетерогенных сред, имитирующих периодически повторяющиеся элементы структуры реальных гетерогенных материалов (рис.I.I4).

Показано [21, 34], что наличие границы раздела оказывает наи­меньшее влияние на распределение напряжений в окрестностях верши­ны трещины в тех случаях, когда трещина располагается в одной из фаз и ориентирована параллельно границе раздела. Этому случаю со­ответствует модель, приведенная на рис. I.I4а и представляющая собой трехслойную конструкцию, выполненную из однородных линейно­-упругих материалов, прочно соединенных между собой по границе раздела. Материал внутреннего слоя толщиной h характеризуется упругими константами Е₁ и υ ₁, а материал внешних слоев – Е₂ и v₂, причем Е₁< Е₂. Трещина располагается в низкомодуль­ном материале влево от начала координат вдоль оси х, парал­лельной границе раздела, и нагружается по одному из трех простых типов.

Установлено [21, 34], что в такой гетерогенной системе на­пряжения вблизи вершины трещины тем больше, чем выше уровень дей­ствующей нагрузки, и их величина убывает обратно пропорционально корню квадратному из расстояния. При этом поле напряжений может быть описано асимптотическими формулами (1.33) аналогично гомо­генным материалам, однако по сравнению с последними область спра­ведливости этих формул для рассматриваемой гетерогенной системы оказывается меньше. Это говорит о том, что при наличии границ раздела между фазами происходит стеснение сингулярного поля на­пряжений вблизи вершин трещины, причем при прочих равных услови­ях этот эффект проявляется тем заметнее, чем больше различие в упругих свойствах фаз, т.е. чем больше отношение Е₂/Е₁ ( рис. 1.15а) и меньше толщина низкомодульной фазы (рис.1.15б) [34].

По аналогии с однородными материалами мерой сингулярности на­пряжений вблизи вершины трещины в рассматриваемой гетерогенной системе является коэффициент интенсивности напряжений К, который, однако, в последнем случае зависит не только от уровня, типа при­ложенной нагрузки и геометрических факторов, но также и от отноше­ния модулей упругости фаз: параметр К тем меньше, чем больше от­ношение Е₂/Е₁[34].

Влияние гетерогенности на характер распределения напряжений и величину коэффициента интенсивности напряжений резко усиливает­ся, если трещина располагается вдоль границы раздела между фаза­ми [21. 73, 76-78]. Этому случаю соответствует модель, приведен­ная на рис. 1.14, 6 и состоящая из двух линейно-упругих материалов, характеризующихся модулями Юнга Е₁ и Е₂, модулями упругости при сдвиге μ ₁ и μ ₂, коэффициентами Пуассона v ₁ и v ₂ со­ответственно. Материалы прочно соединены между собой вдоль прямой линии, совпадающей с осью х, образуя двухслойную конструкцию, часто называемую биматериалом. Трещина расположена вдоль оси слева от начала координат и каждый из ее берегов нагружается комплексной силой F=Q+iP, прикладываемой на расстоянии, равном а, от вершины трещины.

Показано [21, 7б], что в рассматриваемом случае напряжения вблизи вершины трещины пропорциональны приложенной нагрузке и убы­вают обратно пропорционально корню квадратному из расстояния, как и в случае гомогенных материалов. Однако поле напряжений в окрестности вершины трещины, лежащей на границе раздела двух фаз, опи­сывается более сложными уравнениями, чем асимптотические формулы (1.33), в которые входит так называемая биупругая константа ε, зависящая от упругих свойств материалов, образующих гетерогенную систему. При плоском нацряженном состоянии она равна [2I].

При определении биупругой константы ε в условиях плоской деформации v ₁ в формуле (I.51) необходимо заменить на v ₁/(1 - v ₁).

Используя полярную систему координат, приведенную на рис. I.I4б, поле напряжений в материале 1 вблизи вершины трещины, ле­жащей на границе раздела фаз, можно описать выражениями [21, 7б]

где f_rθ (θ, ε, lnr), φ _rθ (θ, ε, lnr) - функции своих аргумен­тов, приводимые в литературе [21, 76]; К_I и К_II - коэффициенты интенсивности напряжений для рассматриваемой гетерогенной системы (см. рис. I.I4б), равные [21, 7б1

Если оба компонента биматериала имеют одинаковые упругие кон­станты, то ε =0 и уравнения (1.52) принимают вид, аналогичный асимптотическим формулам (1.33), описывающим поле напряжений в окрестностях вершин трещин в однородных материалах, но выраженным в полярных координатах. При этом также формулы (1.53) для коэффи­циентов интенсивности напряжений гетерогенной системы, содержащей трещину на границе раздела двух фаз, принимают вид, аналогичный формулам (1.34) для однородных изотропных материалов.

Из выражения (1.52) следует, что по аналогии с гомогенными ма­териалами каждая из трех компонент напряжения (σ _r, σ _θ и σ _rθ ) в окрестности вершины трещины, лежащей на границе раздела двух фаз с различными упругими свойствами, прямо пропорциональна коэффици­енту интенсивности напряжений. Однако коэффициент интенсивности напряжений в этом случае не является единственным параметром, оп­ределяющим поле напряжений: оно существенным образом зависит так­же от соотношения упругих свойств фаз, характеризуемого биупругой константой ε. Кроме того, сами коэффициенты интенсивности на­пряжений зависят не только от уровня приложенной нагрузки и размера трещины, но и от упругих свойств компонентов гетерогенной системы. Важной особенностью поля напряжений в окрестностях вер­шины трещины, расположенной вдоль границы раздела фаз, является также и то, что при r→ 0 напряжения имеют ярко выраженный осциллирующий характер типа [21, 73, 7б]

причем колебания напряжений наблюдаются лишь в малой области, не­посредственно прилегающей к вершине трещины.

В отличие от однородных изотропных материалов приложение сим­метричной (тип I) нагрузки к биматериалу с межфазной трещиной вызывает как симметричные, так и кососимметричные поля напряжений и перемещений, как это следует из выражения (1.52). Аналогично, при приложении кососимметричной нагрузки (тип П) перемещения и напряжения в окрестностях вершин трещин в гетерогенной системе также оказываются смешанного типа I-П. Из этого следует, что силовой критерий роста межфазных трещин в гетерогенных системах должен учитывать оба коэффициента интенсивности напряжений K_I и К_II даже при простых типах нагружения, и в общем виде К- критерий роста трещин может быть записан следующим образом:

Предполагается [76], что вид функций f в выражении (1.55) может быть определен экспериментально.

Наличие границ раздела и различие в упругих свойствах компонен­тов гетерогенных материалов оказывает наиболее существенное влия­ние на локальное распределение напряжений и величину коэффициента интенсивности напряжений в тех случаях, когда трещина ориентирована перпендикулярно границе раздела между фазами [2I, 72, 74, 75]. Этому случаю соответствуют модели, приведенные на рис.1.14б, г и состоящие из двух гомогенных линейно-упругих материалов, прочно связанных между собой вдоль прямой линии, совпадающей с осью у. Левая часть такого биматериала характеризуется упругими свойствами Е₁, μ ₁, v ₁, а правая - Е₂, μ ₂, v ₂. Трещина располагается перпендикулярно границе раздела (вдоль оси х), причем в одном случае ее вершина достигает границы раздела (рис. 1.14е), а в другом - находится на некотором расстоянии от нее (рис. 14г).

Анализ поля напряжений в биматериале, содержащем трещину, вер­шина которой лежит на границе раздела (рис, 1.14е), показал [30, 72, 74], что каждая компонента тензора напряжений σ _ij может быть описана выражением

σ _ij = f_ij(θ)r^-g, (1.56)

где r - расстояние от вершины трещины; g - показатель сингу­лярности (особенности) поля напряжений вблизи вершины трещины; θ - полярный угол.

При этом наличие границы раздела между фазами и различие в их упругих свойствах оказывают наиболее существенное влияние на сте­пень уменьшения напряжения по мере удаления от вершины трещины, характеризуемой параметром g. Так, если в случае однородных материалов (μ ₁/μ ₂ =1) показатель g =0, 5, то для бимате­риалов с различными упругими свойствами фаз показатель g может принимать значения, лежащие в диапазоне от 0 до I. При этом ког­да трещина находится в более жестком материале (μ ₁/μ ₂> I), показатель g =0, 5-1; когда же трещина располагается в менее жестком материале (μ ₁/μ ₂< I) g = 0-0, 5. Характер изменения g с изменением отношения модулей упругости цри сдвиге μ ₁/μ ₂ одинаков как при плоской деформации (тип 1и П), так и при антиплоской деформации (тип Ш), однако в последнем случае показатель g оказывается особенно чувствительным к изменению отношения μ ₁/μ ₂ (рис. I.I6).

Влияние границы раздела в рассматриваемом случае не ограничи­вается только изменением сингулярности поля напряжений, но также проявляется в перераспределении отдельных его составляющих [30, 74]. Так, если в гомогенном материале максимальное главное напря­жение действует при θ = ±60° и оно примерно на 30% больше на­пряжения, действующего непосредственно перед вершиной трещины (цри θ =0°), то в биматериале при μ ₁/μ ₂> 1 максимальное главное напряжение действует на границе раздела (θ = 90°) в более жесткой фазе, содержащей трещину, и оно тем в большей степени превышает напряжение, действующее непосредственно перед вершиной трещины (при θ =0°), чем больше отношение μ ₁/μ ₂. Например, при μ ₁/μ ₂=20 указанные напряжения различаются примерно в 9 раз.

В работе ['74] проведен детальный анализ влияния отношения модулей упругости μ ₁/μ ₂ фаз биматериала на компоненты на­пряжения, действующего вблизи вершины трещины, перпендикулярной границе раздела и касающейся ее своей вершиной. При этом рассматривались три независимые компоненты напряжения, действующего вдоль границы раздела (θ = 90°): σ _хх (90°), σ ¹_уу (90°), σ ²_уу (90°) и σ _ху(90°), и два главных напряжения (θ = 0°): σ _хх (0°)и σ _уу(0°), действующих непосредственно перед вершиной трещины (обозначение координат соответствует рис. 1, 14 в; верхние индексы в обозначении напряжений указывают на фазу, в которой действует данное напряжение).

Было установлено, что когда трещина располагается в более жесткой фазе биматериала (μ ₁/μ ₂> I), то наиболее чувствительными к изменению μ ₁/μ ₂ компонентами напряжения являются растяги вающее напряжение σ ¹_уу(90°), действующее параллельно границе раздела в более жесткой фазе, содержащей трещину, и касательное напряжение σ _ху(90°), действующее в плоскости межфазной границы. С увеличением μ ₁/μ ₂ напряжения σ ¹_уу(90°) и σ _ху(90°) резко возрастают, что обусловливает высокую вероятность продольного (вдоль границы раздела) расщепления более жесткой фазы (под действием σ ¹_уу(90°) и межфазнрго расслаивания (под действием σ _ху(90°) биматериала до того, как трещина получит возможность распространяться из более жесткой в менее жесткую фазу.

Когда трещина располагается в менее жесткой фазе биматериала (μ ₁/μ ₂< I), влияние изменения отношений модулей сдвига фаз в меньшей степени сказывается на компонентах напряжения, чем в случае биматериала с трещиной, лежащей в более жесткой фазе. С уменьшением отношения μ ₁/μ ₂ напряжения σ ²_уу(90°) и σ _хх (90°) немного возрастают, в то время как компоненты напряжения σ ¹_уу (90°), σ _ху(90°) и σ _хх(0°) заметно уменьшаются. Это приводит к тому, что при малых отношениях μ ₁/μ ₂ напряжение σ _хх(90°)становится наибольшим из всех действующих вблизи вершины трещины, благодаря чему резко возрастает вероятность нормального отрыва жесткой фазы биматериала от менее жест­кой по границе раздела.

В работе [75] был оценен коэффициент интенсивности напряжений для пластины из биматериала, имеющей конечные размеры и содержащей трещину длиной 2 а в одной из фаз на расстоянии b от границы раздела и ориентированную перпендикулярно к ней (см. рис, 14г). Было показано, что при нагружении такой пластины растягивающей на­грузкой в направлении, перпендикулярном плоскости трещины, коэффи­циент интенсивности напряжений определяется выражением

где а - полудлина трещины; σ - приложенное напряжение; W - ширина пластины, равная W=W ₁+ W₂; W ₁ - ширина части пластины, выполненной из материала с упругими константами Е₁ и v ₁; W₂ - ширина части пластины, выполненной из ма­териала с упругими свойствами Е ₂ и v ₂; с_λ - поцравочный коэффициент, учитывающий влияние, оказываемое границей раздела на распределение напряжений вблизи вершины трещины. Коэффициент c_m ≈ I gри любом соотношении модулей Е₁/Е₂, если вершина трещины находится на расстоянии b> > За от гра­ницы раздела фаз. Если же трещина располагается на расстоянии b< За от границы раздела, то поправочный коэффициент с_т> 1 цри E₁/Е₂> 1 и с_т < 1 цри E₁/E₂< 1_, причем в обоих слу­чаях значение с_т тем больше, чем больше отношение E₁/Е₂.

Из выражения (1.57) следует, что в случае биматериала, содер­жащего трещину, перпендикулярную границе раздела и лежащую на не­большом расстоянии от нее, коэффициент интенсивности напряжений определяется не только уровнем действующей нагрузки и длиной тре­щины, как в случае однородных материалов, но и соотношением упру­гих свойств фаз. При прочих равных условиях коэффициент интенсив­ности напряжений для гетерогенной системы оказывается больше, чем для однородного материала, если трещина располагается в более жесткой фазе, и, наоборот, коэффициент интенсивности напряжений меньше, если трещина находится в менее жесткой фазе, причем этот эффект должен проявляться тем ярче, чем сильнее различие в упру­гих свойствах фаз биматериала и чем ближе трещина располагается к границе раздела.

Из этого следует, что при распространении трещины в биматериа­ле по мере ее приближения к границе раздела может происходить ли­бо ускорение, либо торможение трещины в зависимости от того, в фазе с какими упругими свойствами она распространяется: если E₁/E₂< 1, то коэффициент интенсивности напряжений будет умень­шаться по мере приближения трещины к межфазной границе, что долж­но способствовать торможению и, возможно, остановке трещины, в то время как при Е₁/Е₂> 1 коэффициент интенсивности напряжений возрастает и трещина должна ускоряться при приближении к границе раздела между фазами [75].

Приведенные данные убедительно свидетельствуют о том, что да­же в случае относительно простых гетерогенных систем структура поля напряжений вблизи вершин трещин и коэффициенты интенсивности напряжений являются сложными функциями упругих свойств фаз и ори­ентации трещины по отношению к границе раздела. Очевидно, что си­туация в еще большей степени усложняется при переходе от моделей к реальным гетерогенным материалам, обладающим различной фазовой структурой, объемным соотношением фаз и прочностью их адгезионно­го сцепления на границе раздела и содержащим трещины различной геометрии, причем не обязательно в одной из фаз или на межфазной границе, но и пересекающие фазы с различными упругими свойствами.

Учесть все многообразие факторов, оказывающих влияние на пара­метры трещинодвижущих сил К и сопротивления росту трещин K_R ре­альных гетерогенных материалов, при построении силового К- крите­рия пока не удается, хотя работы в этом направлении в последнее время проводятся достаточно интенсивно. Предпринимаются попытки построить силовой К -критерий роста трещин для гетерогенных мате­риалов, опираясь на анализ микроструктуры полей напряжений, воз­никающих в окрестностях вершин трещин в средах с различными фазо­вой структурой и упругими свойствами фаз, проводимый с использо­ванием моделей стохастически неоднородных сред [80, 81], неодно­родных сред с периодической структурой [82, 83], сред с монотон­но изменяющимися упругими свойствами [58, 84] и других [бб]. Однако полученные к настоящему времени результаты еще не позволя­ют обоснованно сформулировать силовой К -критерий для гетерогенных материалов и требуют дальнейшего осмысления и экспериментальной проверки.

Поскольку построение силового К -критерия применительно к гете­рогенным материалам сопряжено с отмеченными выше трудностями, на практике широкое распространение получил эмпирический подход, в соответствии с которым трещинодвижущие силы К рассчитываются ис­ходя из континуальной модели, а показатели трещиностойкости оп­ределяются экспериментально с учетом фактических микромеханичес­ких процессов, развивающихся в вершинах трещин и предшествующих их распространению в данном гетерогенном материале. Однако, как свидетельствует накопленный опыт, достоверность оценки трещино­стойкости гетерогенных материалов в этом случае во многом зависит от их фазовой структуры и ориентации трещины.

Наилучших результатов удается достичь в тех случаях, когда при критических нагрузках трещины распространяются в направлении сво­ей первоначальной ориентации преимущественно в одной из фаз гете­рогенного материала, что характерно, например, для многих компо­зиций со структурой матричной дисперсии, однонаправленных волок­нистых композиций, содержащих трещины, ориентированные вдоль во­локон, слоистых волокнистых композиций с трещинами, лежащими меж­ду слоями, а также для клеевьх соединений.

Интерпретация экспериментальных данных, получаемых при испыта­ниях на К_с волокнистых композиций, содержащих трещины, ориентиро­ванные перпендикулярно или под произвольным углом к волокнистому наполнителю, сопряжена с определенными трудностями, связанными прежде всего с формированием развитой зоны предразрушения (микроповреждений) в гетерогенном материале вблизи вершины трещины до наступления критических условий и несебеподобным распростране­нием трещины после их достижения. Для того, чтобы в какой-то мере учесть погрешности при расчетах К_с, связанные с формиро­ванием зоны предразрушения в вершине трещины, предлагается вво­дить поправку на размер трещины, аналогичную поправке Ирвина на пластичность, используемой для псевдоупругих материалов[1, 86].

При этом предполагается, что длина зоны предразрушения может быть рассчитана по формулам (1.38) и (1.39), в которых необхо­димо заменить предел текучести σ _т на разрушающее напряже­ние при растяжении σ _ь гетерогенного материала, не содержа­щего предварительно нанесенного дефекта известного размера.

Если цри экспериментальном определении К_c после достижения кри­тических условий наблюдается несебеподобное распространение тре­щин, то зафиксированные значения могут служить лишь эффектив­ными показателями трещиностойкости гетерогенного материала, соот­ветствующими страгиванию трещины с места при заданных условиях испытаний, но не отражающими его фактической способности сопро­тивляться росту трещин в определенном направлении.