![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Оценка точности косвенных измерений
Как быть, если х определяется не прямым измерением, а косвенным, т. е. по результатам измерений других величин у и z? Пусть х является некоторой функцией у и z, т. е. х = f (у, z). Тогда наилучшее значение при оценке х равно
где Заметим, прежде всего, что Δ х = х –
т. е. ошибка косвенного измерения находится через ошибки прямых измерений по правилу дифференцирования. Часто этой оценки оказывается достаточно. Здесь дf/ду и дf/дz – частные производные по у и z, взятые при значениях у = Часто удобно выражать точность, с которой найдено х, через относительную погрешность ε x. По определению,
где Рассмотрим практически важный случай, когда х является степенной функцией у и z: х = f (у, z) = уm zn, дf/ду = m уm- 1 zn, дf/дz = n уm zn- 1. (т и п могут быть целыми или дробными, больше или меньше нуля). Относительная погрешность равна
Из соотношения (0.10) следует важный вывод: при измерениях необходимо наиболее точно определить значение величины, входящей в расчетную формулу с наибольшим по модулю показателем степени. Приведем простейшие случаи расчета предельных погрешностей результата косвенного измерения величины Y. 1. Пусть Y = А + В, а предельные абсолютные погрешности прямого измерения величин А и В соответственно равны Δ А и Δ В (это или погрешности измерительной аппаратуры, или результат расчета). Тогда Y ± Δ Y = (А ± Δ А) + (В ± Δ B). Очевидно, наиболее невыгодный случай тот, когда Δ А и Δ B будут одинаковы по знаку, например + Δ А и Δ B, тогда предельная абсолютная погрешность результата равна ± Δ Y = Δ А и Δ B, а предельная относительная погрешность
2. Пусть Y = АВ, тогда Y ± Δ Y = (А ± Δ А) (В ± Δ B) = АВ ± А Δ В ±Δ АВ. Полагая Δ А Δ В малыми, получаем
3.Пусть Y = Аn. Предельная относительная погрешность равна
а предельная абсолютная погрешность
4. Пусть Y = sin α. Тогда Y ± Δ Y = sin (α ± Δ α). Положим, что Δ α мало. В этом случае sin Δ α ≈ Δ α. Следовательно, Y + Δ Y = sin α + Δ α cos α, и тогда Если в расчетные формулы входят константы, например число π, физические постоянные, табличные данные, то они берутся с такой точностью, чтобы число значащих цифр в них было на единицу больше, чем число значащих цифр в значениях измеряемых величин. Тогда константы практически не вносят погрешностей в результат измерений.
|