Интегралы, зависящие от параметра.

Определение

Пусть имеется функция f(x; l), которая определена и непрерывна при x и l, таких что . При этом , так что промежуток x Î [a; b] является конечным; , так что промежуток l Î [a; b] может быть и бесконечным. Если функцию f(x; l) проинтегрировать по промежутку x Î [a; b], то получим функцию , которая называется интегралом, зависящим от параметра λ.

Примеры

1)

определена и непрерывна при .

2)

Если l = ±1, то является несобственным интегралом второго рода, т.к. подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв при x = 1.

Вычисляем несобственный интеграл:

Таким образом,

3)

Если , то

.

Таким образом, .

4)

Т.к. то функция F(n) непрерывна при

5)

Таким образом, , где

Из рассмотренных примеров видно, что в интеграле, зависящем от параметра, параметр может быть обозначен любой буквой, отличной от переменной интегрирования, и что множество допустимых значений для параметра часто определяется только после вычисления интеграла.