Несобственные интегралы, зависящие от параметра.

В качестве примера несобственного интеграла, зависящего от параметра, рассмотрим интеграл с бесконечным пределом:

ООФ F (l) состоит из тех значений λ, при которых несобственный интеграл сходится.

Пример 3

Если λ = 0, то — расходится, поэтому F (0) не существует.

Если λ ≠ 0, то — сходится, поэтому при λ ≠ 0 функция F (l) определена.

Таким образом, .

ООФ F (l): λ ≠ 0.

при λ = 0 функция F (l) имеет бесконечный разрыв.

Пример 4

Исследовать сходимость интеграла в зависимости от параметра k.

Данный интеграл является несобственным, I рода при " k Î  и ещё несобственным II рода при " k Î (-µ; 0).

Найдем первообразную подинтегральной функции:

.3

Далее для исследования несобственного интеграла I выделим следующие случаи, в каждом из которых есть какая-то особенность ситуации.

1 случай: k ³ 0 Þ I является несобственным только первого рода.

т.е. I расходится при " k ³ 0.

2 случай: k = -1 Þ I является несобственным первого и второго рода

Таким образом, при интеграл I расходится и как несобственный первого рода, и как несобственный второго рода.

3 случай: k Î (-1; 0) I является несобственным и первого и второго рода.

— сходится;

— расходится.

Таким образом, при k Î (-1; 0) интеграл I сходится как несобственный интеграл второго рода (I ₁), но расходится как несобственный интеграл первого рода (I ₂).

Следовательно, в целом интеграл I расходится при k Î (–1; 0).

4 случай: k Î (-µ; -1) I zнесобственным интегралом и первого, и второго рода.

— расходится;

— сходится.

Таким образом, при k Î (-µ; -1) интеграл I расходится как несобственный интеграл второго порядка (I ₁), но сходится как несобственный интеграл первого рода (I ₂).

Следовательно, в целом интеграл I расходится при k Î (-µ; –1).

Рассмотрев сходимость данного интеграла I при всех возможных значениях k, заключаем, что не существует таких значений k, при которых бы I сходится.

Ответ: расходится при " k Î .

Определение

Несобственный интеграл зависящий от параметра λ, называется правильно сходящимся, если можно указать такую положительную функцию j(x), что при всех рассматриваемых значениях x и λ выполняется неравенство и несобственный интеграл сходится. Правильная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра λ, является частным случаем так называемой равномерной сходимости по λ.