![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
ВВЕДЕНИЕ. Гармоническим называют такое колебательное движение, при котором на тело массы m действует возвращающая сила F
Гармоническим называют такое колебательное движение, при котором на тело массы m действует возвращающая сила F, пропорциональная отклонению x от положения равновесия. На рисунке 13.1. показан пружинный маятник, расположенный горизонтально. Это шарик массой m, прикрепленный к пружине обладающей упругостью k. Если шарик вывести из положения равновесия (растянуть или сжать пружину), то вследствии ее деформации возникает сила упругости, возвращающая шарик в положение равновесия Рис. 13.1.
где k – коэффициент возвращающей силы. Знак минус означает противоположность направлений х и F. Эта сила сообщает телу ускорение а и может быть выражена по закону Ньютона:
Решением этого уравнения является уравнение вида:
Здесь А – амплитуда колебаний, j - начальная фаза, (wt+j) – фаза колебаний в момент времени t, w - циклическая частота. Согласно решению уравнению (13.3.)
Так как циклическая частота зависит только от свойств колеблющейся системы (массы и упругости), то ее называют собственной циклической частотой системы. Примерно по гармоническому закону происходит движение математического маятника (рис.13.2.), первоначально выведенного из положения равновесия на малый угол a £ 50. Рис.13.2. Напомним, что математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой нити. Действующая на материальную точку массой m сила тяжести Р=mg раскладывается на две взаимно перпендикулярные составляющие, одна из которых F1 растягивает нить, а вторая –F вызывает ускорение в сторону положения равновесия, ее называют возвращающей силой. Она равна Относительно точки подвеса тело совершает вращательное движение; поэтому для вывода уравнения движения надо воспользоваться законом динамики для вращательного движения. Возвращающая сила создает возвращающий момент силы Так как угол a мал, то sina» a (здесь a выражен в радианах). Поэтому
Знак (-) указывает, что сила тяжести препятствует отклонению тела на угол a. Этот момент силы вызовет движение шарика с угловым ускорением равным второй производной угла по времени, т.е.
где I – момент инерции шарика относительно точки подвеса.
Подставив уравнение (13.9.) в уравнение (13.8.) и приравняв правые части полученного уравнения и уравнения (13.7.) получим уравнение движения математического маятника
Если сравним его с уравнением (13.3.), то собственная циклическая частота математического маятника будет зависеть от длины и ускорения силы тяжести, т.е.
Это значит, что роль массы в этом случае выполняет длина нити, а упругость системы – ускорение силы тяжести. Известно, что период колебаний связан с частотой соотношением:
Подставив в уравнение (13.12.) значение w для пружинного маятника или для математического (уравнение (13.11.), получим для математического маятника
Это уравнение используют для измерения ускорения силы тяжести с помощью математического маятника. Из уравнения (13.13.) легко определить ускорение свободного падения:
Непосредственное измерение длины маятника l не представляется возможным, т.к. центр тяжести лабораторного маятника не совпадает точно с геометрическим центром шарика. Поэтому при определении ускорения силы тяжести наблюдают колебания маятника для различных l и определяют периоды колебаний Т1 и Т2. Тогда g легко выразить через Т1 и Т2 и разность длин маятников. Окончательно имеем:
|