Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Фигуры Лиссажу
|
|
().
Наклон этой прямой равен величине 
.
В самом деле, если действительно справедливо, что
J = 2 (
),
то из формулы (6.20) выражаем период колебаний усложненного маятника
= 
+ 
( 
),
то есть 
= ad2+c, где а = 2т0;
c = 
( 
).
Полученное уравнение есть уравнение прямой, что доказывает справедливость теоремы Гюйгенса - Штейнера. Наклон этой прямой равен 
что дает возможность экспериментально определить значение модуля кручения подвеса (оси OO').
Прямая пересекает ось координат в точке ( ),
что позволяет рассчитать момент инерции JX крутильного маятника.
5.2. Описание экспериментальной установки
Схема экспериментальной установки для проверки теоремы Гюйгенса - Штейнера и определения момента инерции твердого тела изображена на рис. 6.8. Тело 1, момент инерции которого JX необходимо определить, имеет форму шара с кольцом и двумя симметрично расположенными стержнями. При этом дополнительные грузы 2 - малые шары - надеваются на стержни и могут быть установлены на различных расстояниях d от оси симметрии OO' установки. Стержень из металлического материала прикреплен к телу 1 с двух сторон и закреплен в кронштейнах 3 (на схеме рис. 6.8 изображен в виде оси ОО').
Для приведения системы в колебательно-вращательное движение необходимо приложить момент силы - повернуть двумя руками стержни на угол 8-10° (при малых углах период колебаний не зависит от амплитуды колебаний).
Рис. 6.8
|
5.3. Экспериментальная часть
Задание. 1. Определение момента инерции JX крутильного маятника.
1. Проведите измерения периода колебаний То крутильного маятника без дополнительных грузов не менее трех раз. Для более точного измерения периода необходимо измерить время t не менее как десяти полных колебаний, а затем определить период как Т = 
Здесь п - число полных колебаний.
Определите среднеарифметическое значение периода крутильных колебаний. При этом угол отклонения маятника из положения равновесия не должен превышать 5 
8 °.
2. Установите дополнительные грузы на концах стержней так, чтобы их край совпадал с краем стержня. В таком положении центры масс шаров будут находиться на расстоянии 0, 2 м от оси вращения ОО'. Измерьте период Т1 (см. п. 1).
3. Измерьте периоды Т2, Т3..., Т6, последовательно передвигая шары на 2 см к центру (см. п. 1).
Заполните табл. 6.2.
|
4. Измерьте диаметр шаров-грузов, найдите величину их радиуса. Определите общую массу двух шаров.
5. Для того, чтобы убедиться в правильности теоремы Гюйгенса - Штейнера, постройте график зависимости T2 как функцию от d2(T2 = f(d2)). В случае если получите линейную зависимость Т2 от d2 в виде T2 = ad2 + c, то это и будет подтверждением справедливости теоремы Гюйгенса - Штейнера.
6. По тангенсу угла наклона, равному 2т0, определите коэффициент угловой жесткости материала 
7. Численное значение квадрата периода колебаний 
в точке А (рис. 6.9) равно 
).
Из равенства 
= ) выразите аналитически JX. Подставив
численные значения 
, 
, т0 и r2, определите JX, используя выражение
JX = 
.
Рис. 6.9
|
По предложению преподавателя выполните дополнительное задание.
Задание. 2. Определение момента инерции JX крутильного маятника.
1. Вычислите момент инерции JX по формуле (6.23).
2. Сравните вычисленное значение JX и полученное на основании эксперимента значение JX (см. п. 7 задания 1).
3. Сделайте вывод о справедливости теоремы Гюйгенса- Штейнера и о совпадении момента инерции JX, рассчитанного по формуле и определенного из графика.
Контрольные вопросы и задания
1. Сформулируйте цель работы.
2. Какая физическая величина называется моментом инерции материальной точки, твердого тела?
3. Каков физический смысл понятия момента инерции?
4. Сформулируете теорему Гюйгенса - Штейнера.
5. В каких случаях затруднителен аналитический расчет момента инерции тела? Как поступают в этом случае?
6. Каков физический смысл коэффициента угловой жесткости или модуля кручения подвеса?
7. Какие колебания называются крутильными?
8. В чем состоит метод проверки справедливости теоремы Гюйгенса-Штейнера, используемый в данной работе?
9. Какова зависимость 
от 
в предлагаемой работе? Каковы цели, построения этого графика.
10. Объясните метод определения модуля кручения подвеса, используемый в данной работе.
11. Какие физические величины влияют на период колебаний маятника, используемого в данной работе?
Вариант 3
6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ
ОДНОРОДНОГО ДИСКА МЕТОДОМ КОЛЕБАНИЙ
6.1. Описание метода измерения
Как и в предыдущих вариантах определения моментов инерции твердых тел, в настоящем случае используется метод колебаний. Однако, если варианты 1 и 2 рассматривают колебания относительно вертикальной оси, то в данном случае ось вращения твердого тела горизонтальна и не проходит через центр масс (тяжести) тела.
Такое тело, будучи выведено из состояния устойчивого равновесия, начнет совершать под действием силы тяжести колебания относительно этой оси. То есть мы будем иметь дело с физическим маятником. Физическим маятником называется абсолютно твердое тело, способное совершать колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной точки О, не совпадающей с центром масс С. 
Найдем выражение для периода колебаний физического маятника. Для этого рассмотрим колебания некоторого тела, обладающего массой т, ось вращения которого O1O2 горизонтальна и проходит через точку О, находящуюся на расстоянии 
от центра тяжести тела С (рис. 6.10).
Рис. 6.10
Момент силы тяжести, действующей на тело относительно оси O1O2 имеет величину М = mg sin 
, и уравнение динамики вращательного движения тела примет в данном случае вид:
J 
где 
-величина углового ускорения. Знак минус в равенстве (6.24) обусловлен тем, что вектор момента сил тяжести и вектор угла поворота направлены по оси вращения, но в противоположные стороны
(рис. 6.11).
Если углы поворота тела относительно положения равновесия малы, то можно считать, что sin 
и уравнение (6.24) имеет вид:
+ 
= 0. (6.25)
Уравнение (6.25) описывает колебательное движение тела относительно оси O1O2 и представляет собой дифференциальное уравнение. Решение уравнения имеет вид:
= 
sin ( 
t + 
), (6.26)
где - максимальный угол отклонения от положения равновесия, который является амплитудой в уравнении; ( t + 
) - фаза колебания; - начальная фаза колебания; - циклическая частота колебаний, которая связана с период колебаний физического маятника Т следующим соотношением = 
. В нашем
случае 
Тогда период колебаний физического маятника равен
Т = 2 
. (6.27)
Таким образом, по формуле (6.27) можно найти период колебаний для любого физического маятника, при условии малых углов поворота маятника относительно положения равновесия.
Колебания, которые совершает физический маятник, относятся к простейшим типам колебаний, гармоническим колебаниям, при которых движение тела в зависимости от времени описывается по синусоидальному (или косинусоидальному) закону.
Рассмотрим физический маятник, состоящий из однородного диска, горизонтальная ось вращения которого проходит через центр тяжести и к ободу которого прикреплен шарик.
Если масса диска М, масса шарика т, момент инерции диска относительно данной оси JД, а момент инерции диска относительно этой же оси JШ, то для периода колебаний этого маятника на основании (6.27) имеем:
Рис. 6.11
Т = 2 
. (6.28)
где 
= 
момент инерции данного физического маятника.
Поскольку проводить измерения расстояния от оси вращения маятника до центра тяжести (С) затруднительно, исключим величину 
из формулы (6.28). Для этого воспользуемся условием равновесия тела относительно оси, проходящей через центр масс тела (рис. 6.12) (правило моментов).
Условие равновесия нашей системы относительно оси, проходящей через центр тяжести системы (С), имеет вид:
Mg 
= (х + r)mg,
где отрезок х = R- 
и R - радиус диска (рис. 6.12); r - радиус
маленького шарика; - расстояние от центра диска до центра тяжести диска с шариком; m - масса шарика; М - масса диска. Подставляя в условие равновесия значения x, получим:
М =( R- 
) m.
Решим это уравнение относительно и получим выражение
= 
.
|
T = 2 
(6.29)
Теперь возведем обе части уравнения (6.29) в квадрат и выразим момент инерции диска 
:
= 
(R+r)mg - 
. (6.30)
Для вычисления момента инерции шарика применим теорему Штейнера: момент инерции J относительно произвольной оси равен моменту инерции J0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, сложенной с произведением массы тела т на квадрат расстояния а между осями:
J= Jo + т а2.
Тогда, согласно теореме Штейнера, для нашего случая момент инерции шарика JШ относительно оси вращения диска O1O2 запишем в виде (рис. 6.13)
JШ = Jo + m(R+r)2, (6.31)
где Jo - момент инерции шара относительно оси, проходящей через тяжести шара,
Jo = 
m 
,
получим из выражения для момента инерции диска в виде
= 
(R+r)mg - 
m 
.(6.32)
6.2.Ход работы
В данной лабораторной работе на экране компьютера моделируются колебания однородного диска с подвешенным шариком. По результатам эксперимента нужно вычислить его момент инерции.
Для выполнения задания виртуальной физической лабораторной работы необходимо запустить программу, щелкнув левой клавишей мышки по ярлыку на экране «Физ. лаб.». После этого на экране появится окно, в котором будет присутствовать список лабораторных работ.
Установить курсор на работе «Определение момента инерции однородного диска методом колебаний» и мышкой активизировать работу программы. В результате будет открыто окно, в котором будет присутствовать таблица с командами:
■ О программе
■ О работе
■ Эксперимент.
Последовательно вызывая пункты меню в таблице, необходимо предварительно ознакомиться с лабораторной работой и порядком ее выполнения.
После обращения к команде Эксперимент на экране появляется окно с кнопками, управляющими колебаниями маятника, секундомером, линейкой и самим маятником (рис. 6.14).
Для выполнения работы необходимо выполнить следующие действия.
1. Измерить диаметр диска и шарика при помощи линейки. Линейка может перемещаться при помощи мыши - при нажатой левой кнопке.
2. Запустите колебания. Колебания осуществляются после нажатия на кнопку «Пуск» управления колебаниями. Кнопка «Сброс» возвращает маятник в первоначальное положение.
3. Измерьте время 20 полных колебаний. При помощи кнопки «Пуск» включите секундомер и измерьте время 20 полных колебаний. Для включения секундомера нажмите «Стоп». Опыт повторите 10 раз.
4. Вычислите среднее время и средний период 20 колебаний. Определите средний период колебаний по формуле
T = 
где t - среднее время колебаний; п - число колебаний.
Рис. 6.14
|
5. По полученным экспериментальным данным вычислите момент инерции диска по формуле (6.30). При этом необходимо перевести все физические величины в одну систему единиц - СИ. В расчетах принять массу шарика равной 200 г.
6. Рассчитайте погрешность окончательного результата. Для расчета погрешности окончательного результата необходимо использовать формулы, приведенные ниже в приложении к лабораторной работе.
6.3. Обработка результатов измерений
Случайные и систематические погрешности проявляют себя лишь при измерении времени п колебаний диска и имеют один и тот же порядок величины.
Максимальная погрешность вычисляется по формуле
Δ J д = 
+ 
+ 
, (6.33)
где 
= 
;
= 
)g – 0, 1 
– 0, 25 
;
= 
- 0, 5m ).
Окончательный результат расчетов запишите в виде
.
Абсолютную погрешность округлите до одной значащей цифры.
Контрольные вопросы и задания
1. Сформулируйте цель работы.
2. Какое тело называют абсолютно твердым?
3. Что называется моментом инерции материальной точки тела, моментом инерции твердого тела?
4. Что такое колебание и какие колебания называют гармоническими?
5. Дайте определение амплитуды, периода, частоты и фазы колебаний.
6. Какова связь между периодом и частотой колебаний?
7. От чего зависит момент инерции тела?
8. Сформулируйте теорему Штейнера.
9. Что характеризуют величины Δ T, Δ m, Δ dд, как их можно определить?
СХЕМА ЗАПИСИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Все результаты измерений заносятся в таблицы:
|
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Основная литература
1.Трофимова, Т.И. Курс физики (учебное пособие для технических специальностей ВУЗов) / Т.И. Трофимова. - М.: Издательский центр «Академия», 2007, 2008. - 560 с.
Дополнительная литература
2.Савельев, И.В. Курс общей физики Т.1 / И.В. Савельев.-М., 1978.-480 с.
3.Курс лекций по общей физике. Ч.1 / А.С. Тайлашев, Л.А. Теплякова, Н.М. Кормин, Н.А. Конева.; под ред. Н.А. Коневой. - Томск: ТГАСУ, 1999. - 180 с.
4.Сивухин, Я.В. Общий курс физики. Т.1 / Я.В. Сивухин. - М.: Наука, главная редакция Ф-МЛ, 1975. - 519 с.
Лабораторная работа № 8
СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО-ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Изучение сложения гармонических колебаний и определение частоты колебания по виду фигур Лиссажу.
2. ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
Работа выполняется на компьютере с использованием физического виртуального лабораторного практикума. Программа позволяет проводить моделирования колебаний, которые имитируют процесс сложения взаимно-перпендикулярных колебаний.
3. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
3.1. Общие сведения о гармонических колебаниях
Колебательные явления могут иметь разную природу, но обладают общими чертами и даже подчиняются общим закономерностям, что позволяет единым образом рассматривать механические, электрические и другие колебания. С точки зрения кинематики различают периодические и непериодические колебания. Из всех возможных колебаний рассмотрим только такие, при которых каждый цикл во времени в точности повторяет предыдущий. Такие колебания называют периодическими. Соответственно минимальный промежуток времени, через который система проходит то же положение в том же направлении, называют периодом колебаний Т. Из этого определения следует:
x(t) = x(t + nT), 
= 
,
где x - величина, характеризующая отклонение системы от положения равновесия; t - время; п - целое произвольное число.
Колебательные движения настолько важны, что достойны для изучения в отдельном разделе физики. Колебательные явления свойственны широкому кругу явлений: автомобиль на рессорах, поршень и шатун в двигателе, вращение ротора в электродвигателе, напряжение в электрической сети, удары сердца и т. д.
Общим для всех колебательных процессов являются два основных условия колебаний. Первое состоит в том, что когда система выведена из положения равновесия, то должна возникать сила, направленная противоположно смещению, т. е. возвращающая сила (рис. 8.1), и она должна иметь минимум в положении равновесия. В общем случае, когда возвращающая сила пропорциональна смещению F = - kх, независимо от природы силы, то такую силу называют квазиупругой силой, и она является условием возникновения гармонических колебаний.
Второе условие возникновения колебаний состоит в том, что система должна обладать инерционностью. Тогда при возвращении в положение равновесия она, не останавливаясь, вновь отклонится от него (уже в другую сторону).
Колебания могут происходить как под действием внешней вынуждающей силы, так и без нее. Если в системе действуют только внутренние силы, ее колебания называются свободными, или собственными.
Среди периодических колебаний важную роль играют гармонические колебания. При гармонических колебаниях параметры системы изменяются во времени по гармоническому закону, т. е. по закону синуса (косинуса)
х = A cos( 
),
где А = const - это максимальное отклонение от положения равновесия, которое называют амплитудой колебаний, - фаза колебаний. При t = 0 фаза колебаний равна 
. Она определяет начальную координату х0 и называется начальной фазой. Если два одинаковых колебания происходят при разных начальных фазах, то они сдвинуты по фазе при любых t. Например, если колебания двух одинаковых маятников начаты при х = А и х = -А, то они друг относительно друга сдвинуты по фазе на л, т. е. происходят в противофазе. Круговая, или циклическая, частота, которая показывает число колебаний за 2π секунд, связана с периодом колебаний Т соотношением
Т = ( 
),
где 
называют частотой колебаний и она является обратной периоду Т= (1/ 
); 
- циклическая частота, которая определяется только упругостью и массой маятника, т. е. свойствами самой системы, она называется собственной циклической частотой и связана следующим соотношением с частотой = 
.
Одним из простых примеров гармонического движения является колебание массы, прикрепленной одним концом к пружине. Такая система в том или ином виде широко распространена в технике, в том числе в автомобильной. Если сместить массу, прикрепленную к пружине (см. рис. 8.1), а затем это воздействие устранить, то со стороны пружины на массу будет действовать возвращающая сила, направленная в сторону, противоположную силе, вызывающей смещение.
Примером простого гармонического движения может служить колебание тела, подвешенного на пружине, и колебания, совершаемые математическим маятником. Под математическим маятником понимают маятник, состоящий из точечной массы, подвешенный на невесомой и нерастяжимой нити. Почти каждый колебательный процесс можно считать простым гармоническим движением при достаточно малой амплитуде.
3.2. Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний
Всякая система может одновременно участвовать не в одном, а в двух или нескольких колебательных процессах, если в ней действуют две или несколько квазиупругих сил. Например, кузов автомобиля участвует одновременно в колебаниях двух упругих элементов - рессор и шин. Поэтому нужно уметь анализировать результат сложения различных колебаний.
Складываемые колебания не всегда происходят вдоль одного направления. Рассмотрим одну из простых ситуаций, когда тело может участвовать одновременно в двух взаимноперпендикулярных колебаниях. Это означает то, что колеблющееся тело обладает уже не одной, а двумя степенями свободы. При колебаниях этого тела могут изменяться координаты тела в плоскости, т. е. две координаты. В качестве простого примера можно рассмотреть колебания тела, растянутого на четырех пружинах (рис. 8.2); плоскость, в которой происходят колебания тела, совпадает с той плоскостью, в которой лежат оси всех четырех пружин.
Используя приведенную модель, покажем, как можно провести аналитически расчет сложения взаимно-перпендикулярных колебаний. Допустим, что материальная точка может совершать колебания как вдоль оси х, так и вдоль перпендикулярной ей оси у. Если возбудить оба колебания, выводя тело из положения равновесия, то оно будет двигаться по некоторой, вообще говоря, криволинейной траектории, форма которой зависит от разности фаз обоих колебаний.
Рис. 8.2
|
Выберем начало отсчета так, чтобы начальная фаза первого колебания с амплитудой А1, направленного вдоль оси х, была равна нулю. Второе колебание с амплитудой А2 направлено вдоль оси у и имеет начальную фазу, равную 
. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:
. (8.1)
(8.2)
где 
- начальная фаза второго колебания, которая соответствует начальной разности фаз этих двух колебаний. Уравнение траектории найдем исключением t:
= cos( 
t), (8.3)
= cos( 
t + 
) (8.4)
Представим косинус в уравнении (8.4) в виде 
= cos 
cos 
-sin sin . (8.5)
Но, согласно (8.3), cos( 
) = 
. Кроме того, учтем, что
= cos - sin sin , (8.6)
учитывая, что
sin = 
= 
(8.7)
= 
cos 
– ( 
sin , (8.8)
- cos 
= - ( 
sin . (8.9)
Возведем обе части уравнения (8.9) в квадрат:
= 
. (8.10)
Подставим выражение (8.3) в (8.10) и, раскрывая скобки и учитывая (8.7), получим
– 2 
+ 
= 
. (8.11)
– 2 + = 
- 
. (8.12)
Учитывая, что
+ 
,
получим:
– 2 
+ 
. (8.13)
После несложных преобразований получим:
- 
+ 
= 
. (8.14)
Уравнение (8.14) есть уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей х и у произвольно. Такие колебания называются эллиптически поляризованными. Исследуем форму траектории в некоторых частных случаях.
Первый частный случай. Разность фаз равна 0 ( = 0).
В этом случае уравнение (8.4) принимает вид
= 0.
Отсюда получается уравнение прямой
y = 
x.
Результирующее колебание является гармоническим колебанием с частотой 
и амплитудой 
, совершаемой вдоль прямой ML (рис. 8.3), составляющей с осью х угол.
Второй частный случай. Разность фаз 
= ± π. Уравнение (8.4) в этом случае имеет вид
= 0.
откуда получается, что результирующее колебание представляет собой колебание вдоль прямой у = 
(рис. 8.4).
Рис. 8.3
|
Третий частный случай. Разность фаз = ± π /2. Уравнение (8.4) является уравнением эллипса, приведенного к координатным осям, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. Действительно,
+ =1.
При равенстве амплитуд А1 и A 2 эллипс вырождается в окружность.
3.3. Графический метод сложения взаимно-перпендикулярных колебаний
Наглядным является графический метод сложения взаимно-перпендикулярных колебаний. Рассмотрим применение этого метода на примере сложения двух взаимно-перпендикулярных колебаний с равными частотами (
= l: l) и сдвинутых по фазе на величину 
= π /4. Разобьем эту процедуру на этапы.
Первый этап. Выберем начальную точку (точка 1) на вертикальной синусоиде, соответствующую времени t = 0 и начальной фазе 
= 0. На горизонтальной синусоиде точке с номером 1 будет соответствовать точка с начальной фазой 
= 
/4 колебания (рис. 8.5).
Рис. 8.5
|
Второй этап. Из точки 1 на вертикальной синусоиде и точки 1 на горизонтальной синусоиде проведем прямые до их пересечения.
Третий этап. Пронумеруем точки,, соответствующие фазам π /4, 2π /4, Зπ /4, π и т. д., на вертикальной и горизонтальной синусоидах.
Четвертый этап. Из каждой пары точек синусоид проведем прямые линии до их взаимного пересечения в таком же порядке. Нумерацию точек пересечения проводим в таком же порядке, как и выбранные точки на синусоидах.
Пятый этап. Соединяем точки пересечения и получаем кривую, являющуюся результатом сложения взаимно- пепендикулярных колебаний, т. е. фигуру Лиссажу.
Подобным образом производят сложение колебаний, совершающихся с кратными периодами. Приведенный пример показывает, что графический метод сложения гармонических взаимноперпендикулярных колебаний требует для построения достаточно много времени. Ниже, в ходе проведения лабораторной работы с использованием компьютерных технологий, продемонстрировано сложение гармонических взаимно-перпендикулярных колебаний, в результате которого получены соответствующие фигуры.
Фигуры Лиссажу
Во всех вышерассмотренных случаях частоты взаимноперпендикулярных колебаний были одинаковы. Если это не так, то траектория результирующего движения имеет вид довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу. Таким образом, фигуры Лиссажу возникают при сложении двух взаимно-перпендикулярных синусоидальных колебаний.
На рис. 8.6 показана одна из простейших траекторий, получающаяся при отношении частот 
= l: 2 и разности фаз π /2. В этом случае 
= 2 
, а 
= . Уравнения колебания в этом случае имеют вид
.
Рис. 8.6
Когда частоты и 
, заметно отличаются одна от другой, картина получается очень сложной. Но она снова упрощается, если частота одного из колебаний в целое число раз больше частоты другого. При простых кратных соотношениях между частотами фигуры Лиссажу представляют собой замкнутые кривые, вписанные в прямоугольник со сторонами, равными удвоенным амплитудам происходящих колебаний. Можно определить по числу касаний траектории отношения между частотами колебаний. Если, например, фигура касается горизонтальной прямой один раз, а вертикальной - четыре (рис. 8.7, а), то это означает, что частота колебаний вдоль оси х в четыре раза больше, чем вдоль оси у (пока колебание, например, на 
чавшись в точке М, в нее вернется, оно совершит четыре полных колебания по оси х).
Другой способ состоит в том, что определяют число пересечений между вертикальной линией и фигурой Лиссажу и между горизонтальной линией и фигурой Лиссажу (рис. 8.7, б, в). Число точек пересечения дает соотношение между частотами 
.Только вертикальная и горизонтальная линии не должны проходить точки пересечения на кривых фигур Лиссажу. Например, нельзя проводить через точку L на рис. 8.7, в.
Следует отметить, что, чем ближе к единице рациональная дробь, выражающая отношение частот колебаний, тем сложнее оказывается фигура Лиссажу. Если же соотношение между частотами иррационально, т. е. отношение нельзя представить в виде отношения целых чисел, то это приведет к добавочной разнице фаз. В результате картина колебания будет непрерывно изменяться. Если частота одного из колебаний известна, то по виду фигур Лиссажу можно определить частоту другого.
4. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Для того чтобы выполнить задания виртуальной физической лабораторной работы, необходимо запустить программу, щелкнув левой клавишей мышки по ярлыку на экране «Физ. лаб.». После этого на экране появится окно, в котором будет присутствовать список лабораторных работ. Установить курсор на работе «Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний» и мышкой активизировать работу программы. В результате будет открыто окно, в котором будет присутствовать таблица с командами:
■ О программе
■ О работе
■ Эксперимент.
Последовательно вызывая пункты меню в таблице, необходимо предварительно ознакомиться с лабораторной работой и порядком ее выполнения.
После обращения к команде Эксперимент на экране наблюдаются колебания точки в двух взаимно-перпендикулярных направлениях, и вырисовывается траектория результирующего движения - фигура Лиссажу (рис. 8.8).
Для выполнения работы необходимо совершить следующие действия.
Рис. 8.8
|
1. Установить соотношение частот 
=1: 2 и разность фаз 90° Круговая частота вертикальных колебаний всегда равна20 рад/с. Для установления отношения частот 1: 2 нужно горизонтальную частоту установить равной 40 рад/с. Частота горизонтальных колебаний задается путем введения числа в соответствующее окно или с помощью «ползунка». Для установки разности фаз введите нужное число в предназначенное для этого окно.
2. Зарисовать траекторию колеблющейся частицы. По виду траектории определить частоту горизонтальных колебаний и сравнить её с установленной. Отношение частот определяется отношением числа пересечений данной фигуры Лиссажу со взаимно-перпендикулярными линиями в горизонтальном и вертикальном направлениях, не проходящими через точки самопересечения фигуры.
3. Опыт повторить с разностями фаз 0 и 180°. Убедиться, что отношение частот, определяемое по виду фигуры Лиссажу, не зависит от разности фаз. Обратить внимание на направление движения колеблющейся точки.
4. Проделать опыты для других отношений частот. Выберите следующие отношения частот: 2: 5, 3: 5, 3: 4, 4: 5, 5: 4, 3: 2, 2: 1.
5. Для отношения частот 1: 1 проделать опыт при разностях фаз 0, 45, 90, 135, 180°.
Зарисовать получившиеся эллипсы, убедиться, что в предельных случаях 0 и 180° они вырождаются в соответствующие прямые. Обратить внимание на наклон эллипсов при разных начальных фазах.
Контрольные вопросы и задания
1. Назовите два основных условия колебаний.
2. Какие колебания называются свободными или собственными?
3. Дайте определение гармонических колебаний.
4. Какие колебания называют периодическими?
5. Что называют периодом, частотой, амплитудой, фазой колебаний, начальной фазой колебаний?
6. Что называется фигурами Лиссажу?
7. Как определить соотношения между частотами взаимно-перпендикулярных колебаний по виду фигур Лиссажу?
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Основная литература
1. Трофимова, Т.И. Курс физики (учебное пособие для технических специальностей ВУЗов) / Т.И. Трофимова. - М.: Издательский центр «Академия», 2007, 2008. - 560 с.
Дополнительная литература
2. Сивухин, Я.В. Общий курс физики. Т.1 / Я.В. Сивухин. - М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1979. - 519 с.
3. Курс лекций по общей физике. 4.1 / А.С. Тайлашев, ЛА. Теплякова, Н.М. Кормин, Н.А. Конева; под ред. НА. Коневой. - Томск: ТГАСУ, 1999. - 180 с.
Лабораторная работа № 9
ИЗУЧЕНИЕ РЕЗОНАНСА ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Исследование вынужденных колебаний и явления резонанса на компьютерной модели пружинного маятника при различных значениях коэффициента сопротивления.
2. ОБОРУДОВАНИЕ И ПРИБОРЫ
Компьютер.
3. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Гармонические колебания. Пружинный маятник - это тело массой т, совершающее свободные колебания вдоль оси X вокруг положения равновесия под действием упругой возвращающей силы вида F = -kх (закон Гука), где k - коэффициент упругости; х - смещение. В отсутствие сил трения (идеальный маятник) смещение от положения равновесия описывается гармоническими функциями синусом или косинусом вида
x(t) = Asin( 
+ ), (9.1)
где А - амплитуда (наибольшее смещение от положения равновесия); 
- круговая частота; - начальная фаза, задающая смещение в начальный период времени; t -текущее время. Круговая частота связана с циклической частотой 
соотношением 
. В свою очередь, v = 1/Т, где Т = (2π / ) - период (время свершения одного полного колебания). Величина соо называется частотой собственных колебаний и определяется она через параметры системы следующим образом: 
k/т.
Затухающие колебания. При наличии сил трения энергия колебаний расходуется на работу против сил трения, амплитуда уменьшается, и колебания затухают. При небольших скоростях движения сила трения пропорциональна скорости F тр = r 
, где r - коэффициент трения; - скорость. Закон смещения для затухающих колебаний может быть записан как
x(t) = 
+ 
(9.2)
где 
= r/2т - коэффициент затухания; 
= 
- частота с учетом трения. Колебания (9.2) являются гармоническими, с амплитудой, уменьшающейся со временем по закону A(t) = 
.
Эта зависимость представлена огибающей; Ао - амплитуда в начальный момент времени; Т- период.
Скорость затухания описывается декрементом затухания, который определяется как отношение амплитуд в моменты времени, отличающиеся на период.
(9.3)
Логарифм декремента (9.3) называется логарифмическим декрементом затухания
λ = ln 
который обычно используется в качестве характеристики колебательной системы. Логарифмический декремент (9.4) равен 1/Ne - обратному числу колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Другой часто используемой характеристикой колебательной системы является добротность
= / 
= π Ne, (9.5)
которая пропорциональна числу колебаний Ne, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.
При наличии затухания частота колебаний уменьшается, а период увеличивается
T = 
. (9.6)
При 
, T = 
, и движение перестает быть периодическим, то есть колебания прекращаются.
Вынужденные колебания. Если на систему действует внешняя сила, изменяющаяся по закону синуса или косинуса, с частотой 
вида F = Focos(ω t), то после относительно короткого начального промежутка времени в системе устанавливаются стационарные гармонические колебания с частотой ω, закон смещения для которых может быть записан как
x(t)= 
cos 
. (9.7)
Выражение перед косинусом представляет собой амплитуду установившихся вынужденных колебаний, зависящую от соотношения собственной частоты и частоты внешней силы, а также от величины коэффициента затухания. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что с изменением этой частоты амплитуда сначала возрастает, достигает максимума при некотором значении, а затем убывает. Это явление возрастания амплитуды получило название резонанса, а частота, соответствующая максимуму амплитуды, называется резонансной частотой, которая определяется как
= 
(9.8)
Амплитуда в точке резонанса может быть записана следующим образом:
= 
. (9.9)
В отсутствие трения при = 0 резонансная частота совпадает с собственной частотой маятника, а амплитуда обращается в бесконечность. При 
0 зависимость A(ω) имеет максимум, высокий и узкий при малых , и широкий и низкий - при больших (рис. 9.2).
Резонансная частота всегда меньше частоты собственных колебаний маятника, и различие это тем больше, чем больше коэффициент затухания . В настоящей работе в рамках компьютерного моделирования исследуются колебания пружинного маятника, свободные и вынужденные, и подробно исследуются параметры колебаний вблизи точки резонанса.