Ряд Тейлора

Определение. Пусть функция дифференцируема бесконечное число раз в окрестности точки . Степенной ряд вида

,

где

; (3.1)

называется рядом Тейлора для функции в окрестности точки .

Отметим, что если функция дифференцируема раз в некоторой окрестности точки , то для любого из этой окрестности существует число , лежащее между и , такое, что справедлива формула

,

где

Замечания.

1. Если , то ряд не представляет данной функции , хотя может и сходиться к другой функции.

2. Если в ряде Тейлора положить , то получим частный случай ряда Тейлора, который называют рядом Маклорена:

(3.2)

3. Если для какой-либо функции формально написан ряд Тейлора , то чтобы доказать, что написанный ряд представляет данную функцию, нужно либо доказать, что остаточный член стремится к нулю, либо каким-нибудь другим способом убедиться, что написанный ряд сходится к данной функции.

4. Разложение некоторых элементарных функций в ряды