Тейлора и Маклорена

Ниже приводятся разложения в степенной ряд некоторых элементарных функций, и области сходимости полученных рядов.

, (4.1)

., (4.2)

., (4.3)

,

(4.4)

, (4.5)

, (4.6)

, (4.7)

5. Примеры разложения функций в степенные ряды

Пример 1. Написать первые четыре члена разложения в ряд по степеням функции

Решение. Дифференцируем функцию

, , .

Находим значения функций , , , … в точке

, , ,

Следовательно,

Пример 2. Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение. Так как , то заменяя на в разложении (4.1), получим

Пример 3. Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение. Так как то воспользовавшись формулой (4.7), в которой заменим на получим:

Это разложение справедливо, если то есть

6. Некоторые приложения степенных рядов

I. Приближённое вычисление значения функции

Пусть требуется вычислить значение функции при с заданной точностью

Если функцию в интервале можно разложить в степенной ряд

и , то точное значение равно сумме этого ряда при , то есть

а приближённое – частичной сумме , то есть

Точность этого равенства увеличивается с ростом . Абсолютная погрешность этого приближённого равенства равна модулю остатка ряда, то есть

,

где

.

Таким образом, ошибку можно найти, оценив остаток ряда. Для рядов лейбницевского типа

.

В остальных случаях составляют ряд из модулей членов ряда и для него стараются найти положительный ряд с большими членами (обычно это сходящийся ряд геометрической прогрессии), который легко бы суммировался. И в качестве оценки берут величину остатка этого нового ряда.

Пример. Вычислить число с точностью до 0, 001.

Решение. Подставляя в формулу (4.1), получим:

.

Справа стоит знакоположительный ряд. Возьмём слагаемых и оценим ошибку

то есть Остаётся подобрать наименьшее натуральное число , чтобы выполнялось неравенство

Нетрудно вычислить, что это неравенство выполняется при

Поэтому имеем

Замечание. Оценку остатка ряда можно производить с помощью остаточного члена ряда Маклорена

где находится между 0 и В рассмотренном примере Так как то При имеем:

II. Приближённое вычисление определённых интегралов

Ряды применяются также для приближённого вычисления интегралов в случаях, когда первообразная не выражается через элементарные функции или нахождение первообразной сложно.

Пусть требуется вычислить с точностью до . Если подынтегральную функцию можно разложить в ряд и интервал сходимости включает в себя отрезок , то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Ошибку вычислений определяют так же, как и при вычислении значений функций.

Пример. Вычислить интеграл с точностью до

Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, заменяя на в формуле (4.1):

(8.1)

Интегрируя обе части этого равенства на отрезке , лежащем внутри интервала сходимости получим:

Получим знакочередующийся ряд. Так как а то с точностью 0, 001 имеем: