Основні теоретичні відомості. Будь-який складний рух твердого тіла можна розкласти на простіші складові - поступальний та обертальний рухи

Будь-який складний рух твердого тіла можна розкласти на простіші складові - поступальний та обертальний рухи. Основний закон динаміки для першого і другого випадків відповідно має такий вигляд:

; (7.1)

(7.2)

де – прискорення тіла, спричинене дією на нього всіх зовнішніх сил; m – маса тіла; – момент сили відносно точки, який виражається векторним добутком радіуса-вектора точки прикладання сили відносно центра обертання (точки О) на силу

(7.3)

Моментом сили відносно нерухомої осі ОZ називається скалярна фізична величина M _z, що дорівнює проекції на цю вісь вектора моменту сили , визначеного відносно довільної точки О даної осі ОZ.

Якщо прикладена до тіла сила летить в площині, перпендикулярній до осі ОZ, то моменти сили M _z можна визначити за такою формулою:

M=M_z= (7.4)

де ℓ - плече сили.

Величина є кутовим прискоренням тіла, а І – його моментом інерції. Моментом інерції матеріальної точки відносно деякої осі ОО′ називається скалярна фізична величина, яка дорівнює добутку маси m_і цієї точки на квадрат відстані від неї до заданої осі. (рис. 7.1)

. (7.5)

Тіло, що має скінчені розміри, можна уявити як сукупність матеріальних точок. Його момент інерції І відносно заданої осі буде сумою моментів інерції всіх точок відносно тієї ж самої осі:

(7.6)

де n – загальне число матеріальних точок, із яких складається дане тіло.

Момент інерції суцільного однорідного тіла, що має густину ρ, може бути розрахований інтегруванням за формулою:

, (7.7)

де – елементарний об’єм; – елементарна маса ; – відстань від елемента тіла до заданої осі.

У даній роботі визначатимемо момент інерції однорідного суцільного кільця відносно осі, що проходить через його геометричний центр перпендикулярно до площини кільця. Позначимо зовнішній радіус кільця через R₂, внутрішній – R₁, а товщину – d (рис 7.2).

Виділимо двома коаксіальними циліндричними поверхнями радіусами і елементарний об’єм

Підставивши значення елементарного об’єму у формулу (7.7) , одержимо:

Але – це об’єм кільця, а – його маса.

Отже, момент інерції кільця відносно осі, що проходить через його геометричний центр перпендикулярно до площини кільця, буде виражатися формулою:

(7.8)

Визначення моменту інерції шляхом інтегрування за формулою (7.7) для тіл геометрично правильної форми відносно просте. Так, для суцільного диска або циліндричного стрижня відносно осі симетрії момент інерції

(7.9)

У даній лабораторній роботі розглядається маятник Максвелла, що являє собою диск, напресований на циліндричний стрижень, підвішений на двох нитках, які намотуються на нього.

На маятник Максвелла діє сила тяжіння , прикладена до його центра мас і спрямована вниз, а також сили натягу ниток і , спрямовані вгору. Ці сили (Т=Т₁+Т₂) створюють обертальний момент відносно осі маятника ОО′ (рис.7.3). Під дією прикладених сил маятник здійснює поступально-обертальний рух. Лінійне прискорення поступального руху осі ОО′ дорівнює тангенціальному прискоренню точок, розташованих на бічній поверхні циліндричного стрижня . З огляду на це і враховуючи формули (7.1) і (7.2) одержуємо систему рівнянь, які описують ці рухи:

(7.10)

Лінійне прискорення а можна знайти за довжиною h нитки та часом опускання маятника :

(7.11)

Отже, якщо розв’язати дану систему рівнянь (7.10) і врахувати формулу (7.11), то ми одержимо вираз для моменту інерції маятника:

(7.12)

де m – маса маятника, яка є сумою мас стрижня , диска і кільця ; r – радіус циліндричного стрижня.

m=m _ст +m _д +m _к (7.13)

Слід зауважити, що момент інерції маятника складається із моментів інерції циліндричного стрижня, диска і кільця (рис. 7.4).

І _м= І _ст+ І _д+ І _к (7.14)

Остаточно для моменту інерції кільця відносно його осі маємо:

І _к= І _м–(І _ст+ І _д)= -(І _ст+ І _д)= -(І _ст+ І _д), (7.15)

де І _ст= m _ст r _ст² , а І _д= m _ст R _д²

Потрібне устаткування: Установка для вивчення руху маятника Максвелла; Набір кілець; штангенциркуль.