Төрт өлшемдi жылдамдық және үдеу.

Физикалық шамалар арасындағ ы қ атынастар мен заң дылық тарды анық тау ү шiн басқ а да 4 векторларды анық тау керек. Материялық нү ктенiң 4 – кең iстiктегi лездiк орын кө рсететiн, 4–радиус вектордың ұ шының, 4 – кең iстiктегi жылдамдығ ы – тө рт ө лшемдi жылдамдық /4-жылдамдық / деп аталады, 4 – жылдамдық векторын былай анық таймыз:

/2.49/

Бұ л ө рнектiң екi жағ ында да бiр жү йеден екiншiсiне кө шкенде бiрдей заң дылық пен тү рленетiн 4 – векторлар тұ р. Ал – материяның нү ктемен бiрге қ озғ алып бара жатқ ан сағ атпен есептелiнген меншiктi уақ ыт болғ андық тан инвариантты шама. Егер жылдамдық ты анық тау ү шiн лабораториялық жү йедегi сағ атпен есептелiнген уақ ыт бойынша туынды алсақ, онда /2.49/ формуланың инварианттылығ ы бұ зылар едi.

Егер жоғ арыдағ ы материялық нү ктенiң жылдамдығ ын К¹ жү йесiнде анық тасақ, /2.49/ формуладағ ы 4 – векторларғ а штрих қ ою керек, ал формуланың тү рi ө згермейдi:

4 – жылдамтық тың компоненттерiнiң физикалық мағ ынасын анық тау ү шiн жү йесiндегi /лабораториялық жү йедегi/ қ озғ алмай тұ рғ ан сағ атпен есептелген уақ ытқ а кө шу керек. Ол ү шiн /2.16/ формула бойынша екенiн ө скеру керек:

/2.50/

Мұ ндағ ы V(t) – материялық нү ктенiң жылдамдығ ы. Оны К жү йесiнiң жылдамдығ ын v-мен шатастырмау керек. /2.50/ векторын компоненттерiне жiктеп жазайық:

/2.51/

Мұ ндағ ы U_x, U_y, U_z ү ш ө лшемдi U жылдамдық тың компоненттерi. Олай болса 4-жылдамдық тың бiрiншi ү ш компонентi аз жылдамдық тар ү шiн кә дiмгi жылдамдық тың компоненттерiмен сә йкес келедi. U_x, U_y, U_z компоненттерiнiң шамасы жоғ арғ ы жағ ынан жарық жылдамдығ ымен шектелген. Бұ л оның классикалық жылдамдық тан негiзгi айырмашылығ ы. Ал классикалық жылдамдық қ а шек қ ойылмайтынын бiлемiз. /2.51/ бойынша жылдамдық тың шектелуi ондағ ы тү бiр астындағ ы шаманың оң болуымен анық талады.

Кез келген 4 – вектор сияқ ты, 4 – жылдамдық тың компоненттерi де салыстырмалы, ал модулiнiң квадраты инвариантты болады.

/2.52/

Ал ендi оның компоненттерiнiң салыстырмалығ ы, кез келген 4–вектордың Лоренц тү рлендiрулерi бойынша тү рленететiндiгiнен шығ ады. Егер материялық нү ктенiң жылдамдығ ы К¹ жү йесiнде бақ ыласақ, ол U₂ болады: U₂= Y_2β U_β

Бұ л тү рлендiрудi компоненттерi ү шiн жазайық.

, , , /2.53/

Мұ ндағ ы U =K¹ жү йесiне қ атысты тұ рақ ты жылдамдығ ы екенін естен шығ армайық. Мынандай белгілеулер енгізейік:

/2.54/

/2.51/, /2.54/ ескеріп, /2.53/ тү рлендірулерінің тө ртінші формуласын γ ¹/8 қ атынасын анық таймыз.

/2.55/

Ал /2.53/-тің бірінші ү ш тең дігінен

, , /2.56/

Егер /2.55/ қ атынасты /2.56/ тең діктеріне қ ойсақ, онда белгілі /2.22./ релятивті жылдамдық тарды қ осу заң ын аламыз.

4 – ү деу векторын да осылай енгізуге болады.

/2.57/

Бұ л тең діктің де екі жағ ындағ ы 4 – векторлар бір жү йеден екіншісіне кө шкенде бірдей заң дылық тармен тү рленетін векторлар болуы керек, ал dt₀ – инвариант.

,

Жақ ша ішіндегі шамалардан туынды алғ анда, материялық нү ктенің жылдамдығ ы V(t) уақ ытқ а тә уелді екенін ескеру керек. 4 – ү деудің компоненттерін есептеуді оқ ырмандарғ а тапсырамыз. 4 – ү деудің де компоненттері салыстырмалы, модулінің квадраты инвариантты болады. /2.52/ тең деуінің екі жағ ынан да уақ ыт бойынша туынды алайық.

немесе U₂· W₂=0 /2.59/

яғ ни U₂ мен W₂ векторларының скаляр кө бейтіндісі нө лге тең, инвариантты болады. 4 – жылдамдық пен 4 – ү деу векторлары ө зара ортогональ векторлар болады.