![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Иллюстрация применения формул теории вероятностей
Задача 37. Пусть вероятность дожить до 20 лет равна p 1, а вероятность дожить до 60 лет равна р 2, (р 2 < p 1). Чему равна вероятность того, что человек, доживший до 20 лет, доживет до 60? Решение. Построим пространство элементарных исходов. Эксперимент заключается в выборе случайного человека и фиксировании длительности его жизни. Имеем всего три исхода:
Задача 39.. Вероятность того, что стеклянный сосуд при упаковке будет разбит, равна 0, 01. Определить вероятность того, что при упаковке пяти сосудов хотя бы один окажется разбитым. Решение. В условии неявно подразумевается, что события
Задача 40.. Вероятности двух несовместных событий А и В связаны соотношением Решение. По условию Задача 41. Двадцать мальчиков поехали на пикник; 5 из них обгорели на солнце, 8 были сильно искусаны комарами, а 10 мальчиков остались всем довольны. Какова вероятность того, что обгоревший мальчик не был искусан комарами? Какова вероятность того, что искусанный комарами мальчик также и обгорел? Решение. Введем обозначения: А = {наудачу выбранный мальчик обгорел}, В = {наудачу выбранный мальчик искусан комарами}. Тогда событие АВ означает, что выбранный мальчик обгорел и искусан комарами, а событие Нужно найти условные вероятности Задача 42. В некоторых спортивных соревнованиях команды А и В играют между собой до тех пор, пока одна из команд не выиграет две игры. Пусть р означает вероятность того, что команда А выигрывает одну игру у команды В. Ничьих не бывает. Чему равны вероятности следующих событий: А = {команда А выигрывает соревнование}, В = {команда В выигрывает соревнование}? Решение. Построим пространство элементарных исходов. Каждый исход – это описание того, как проходили игры, пока одна из команд не выиграла две игры. Тогда можно записать: W = { аа, aba, abb, bb, bab, baa }. Запись “ aba ”, например, означает, что первую и третью игры выиграла команда А, вторую игру – команда В. Выразим событие А и через события Ak = {команда А выиграла k- юигру}, Вk = {команда В выиграла k- ю игру}: По условию задачи вероятность выигрыша команды А у команды В не меняется от игры к игре, а все события Аk и Вk независимы в совокупности. Кроме того, каждое из слагаемых, определяющих событие А, представляет собой элементарный исход, поэтому окончательно можно записать:
Вероятность события В теперь легко находится: Задача 43. Из 12 билетов, пронумерованных от 1 до 12, один за другим выбираются без возвращения два билета. Каковы вероятности следующих событий: A = {оба номера на билетах четные}; В = {первый номер четный, второй нечетный}; С = {один номер четный, другой нечетный}. Решение. Введем следующие обозначения событий: Чk = { k- й выбранный билет имеет четный номер}; k = 1, 2. Нk = { k- й выбранный билет имеет нечетный номер}; k = 1, 2. Тогда Из условия задачи находятся следующие вероятности: Нам нужно найти вероятности:
= События = Замечание. Эту задачу можно решить по “классическим” канонам. Действительно, взять один за другим два билета – это то же самое, что взять два билета сразу. Поэтому вероятности событий А, В, С равны:
Задача 45.. Игральную кость подбрасывают до первого выпадения одного очка. Какова вероятность того, что придется произвести более трех подбрасываний? Решение. Пространство W содержит в данном случае счетное бесконечное число исходов, W = {1, 2, …, k, …}, где элементарный исход k соответствует случаю, когда первые (k – 1) бросаний не привели к выпадению единицы, а результатом k- го бросания была единица. Обозначим через Элементарный исход k можно представить в виде произведения
Событию А = {придется произвести более трех бросаний кости} противоположно событие
= 1
|