К задаче 3

Прежде чем приступить к решению задачи 3, следует изучит тему 2.2. «Растяжение и сжатие». Цель задачи: а) научиться определять продольную силу и нормальные напряжения в сечении ступенчатого бруса (стержня) при действии на него нескольких внешних сил; б) научиться строить эпюры N и , т. е. графики изменения продольной силы N и нормального напряжения по длине бруса.

Условие задачи. По оси стального ступенчатого стержня (рис. 6, а) приложены силы F₁ и F₂, значения которых, а также площади поперечных сечений и длины участков указаны на рисунке. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений и определить полное удлинение стержня. Модуль продольной упругости материала

Е= 2 ^. 10^-5 кН

Решение. Верхний конец стержня (рис. 6) жестко заделан. Нижний конец свободен. Прежде чем приступить к определению внутренних сил, разбиваем стержень на отдельные участки начиная со свободного конца. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы или в которых изменяются размеры поперечного сечения стержня.

Рис.6

Рассмотрим брус по высоте. Первый участок АВ от точки приложения силы F₁, т. е. от нижнего торца бруса до сечения в котором происходит изменение его размеров. Второй участок ВС до сечения, в котором приложена сила F₂. Третий участок CD от места приложения силы F₂ до заделки.

Пользуясь методом сечений, определяем значения внутренних продольных сил в сечениях стержня. Поскольку нижний конец не закреплен, удобнее начинать именно с него, не определяя реакций задержки стержня.

Проводим сечение I - I в пределах первого участка. Необходимо представить сечение I - I как бы скользящим, что позволяет просматривать участок по высоте стержня.

Мысленно отбросим верхнюю часть до сечения I – I (рисунок 6, б) и, рассматривая оставшуюся нижнюю часть в состоянии равновесия, составим уравнение проекций сил на ось y: N₁ − F₁ = 0, откуда N₁= F₁= 150 кН = 0, 15 кН

Продольная сила положительна, следовательно, на участке АВ имеетместо растяжение.

Проводим сечение II - II на участке ВС стержня и отбросим верхнюю часть (рис. 6, в). По аналогии с предыдущим записываем уравнение равновесия N₂− F₁ = 0 и находим из него N₂ =150 кН = 0, 15 кН Участок ВС также растянут.

Проводим сечение III - III на участке CD и отбрасывая верхнюю часть стержня (рис. 6, г), запишем уравнение равновесия нижней части: N₃+F₂− F₁= 0, отсюда N₃=F₁− F₂= l50− 200= − 50 кН = − 0, 05 МН.

Продольная сила отрицательна, а следовательно, третий участок стержня сжат.

Зная продольную силу на каждом из трех участков, определи М значения нормальных напряжений, имея в виду, что A₁= 18 см² =0, 0018 м²; А ₂=12 см² = 0, 0012 м².:

₁= МПа (растяжение);

₂ = МПа (растяжение);

− 41, 7 МПа (сжатие).

По найденным значениям N и строим их эпюры (рис. 6, д, е). Для этого проводим две прямые (базовые или нулевые линии), параллельные оси стержня. Каждой точке этой прямой соответствует определенное сечение стержня. Считая прямые за нулевые линии, откладываем вправо и влево от них соответственно положительные и отрицательные значения N и . Знаки на эпюрах ставятся обязательно. Подписываем значения отложенных ординат. Эпюры штрихуются линиями, перпендикулярными нулевой линии. Длина каждого штриха выражает значение той или другой величины в соответствующем сечении стержня бруса.

Определяем полное удлинение стержня

Подставив числовые значения, получим

м =0, 54 мм.