К задаче 5

Условие задачи. Для двухопорной балки (рис. 9, а) подобрать сечение двутавра из условия прочности и жесткости, R= 210 МПа, R_s =130 МПа, . Модуль упругости Е =2, 1/10⁵ МПа. Предельно допустимый относительный прогиб f_и/l= 1/400. Построить эпюры нормальных и касательных напряжений для сечений с наибольшим изгибающим моментом и с наибольшей поперечной силой.

Решение.

Рис. 9

1. Подбор сечения из условия прочности.

Расчетная нагрузка

Q = q_n · γ _f = 10 · 1, 3= 13 кН/м

F = F_n^Н · γ _f = 15 ·1, 3 = 19, 5 кН

Схема балки с расчетной нагрузкой изображена на рисунке 9, б. Для рассматриваемой балки наибольший изгибающий момент в сечении посередине пролета. Определяем его как сумму моментов от действия равномерно распределенной и сосредоточенной нагрузок, используя готовые формулы:

= 0, 065 МН

Строим эпюру моментов по трем точкам:

М_А =0; М_С =65 кН× м; М_В= 0 (рис. 9, в).

Из условия прочности при изгибе

определяем W – требуемый момент сопротивления поперечного сечения балки;

W м² = 281 см²

По таблице сортимента принимаем двутавр № 24 W_x =289 см³ (приложение В).

2. Подбор сечения из условия жесткости производим с помощью таблицы прогибов (приложение Д).

Второе предельное состояние конструкции характеризуется появлением чрезмерных прогибов и требует определенной жесткости чтобы в условиях нормальной эксплуатации относительный прoгиб не превышал предельного значения относительного прогиба установленного строительными нормами (СНиП) для различных конструкций и материалов.

Условие жесткости записывается в виде ≤

где − абсолютное значение стрелы прогиба,

l − пролет балки

Расчет на жесткость производят по нормативной нагрузке, а не по расчетной, т. е. без учета коэффициента надежности по нагрузке.

Из таблицы приложения Д для данного загружения балки наибольший по абсолютной величине прогиб определяется по формуле

В результате

Отсюда выражаем требуемый момент инерции сечения

Подставляя числовые значения, получим

м⁴ = 10550 см⁴

Из таблицы сортамента подбираем двутавр № 36 I_x= 13380 см⁴ Принятый из условия прочности двутавр № 24 имеет I_x= 3460 см⁴, что недостаточно по условию жесткости. Таким образом, в данном случае решающим условием при подборе сечения является условие жесткости. Окончательно принимаем двутавр № 36.

3. Определим наибольшие нормальные напряжения в сечении балки с максимальным изгибающим моментом. Из расчета М_мах = 0, 065 МН× м

МПа

так как для двутавра № 36 W_x =743 см³ = 0, 000743 м³ (см. приложение 3).

Из теории известно, что наибольшие нормальные напряжения при поперечном изгибе возникают в крайних волокнах сечения.

В нейтральном слое напряжение равно нулю. Строим эпюру нормальных напряжений. Для этого в произвольном масштабе изображаем сечение двутавра. Параллельно вертикальной оси двутавра проводим нулевую линию и откладываем от нее по разные стороны на уровне крайних волокон и . Соединяем эти точки прямой линией. Эпюра нормальных напряжений построена (рис. 9, б).

4. Построим эпюру поперечных сил. Для этого необходимо сначала определить опорные реакции. Для данной балки ввиду симметрии нагрузки опорные реакции равны между собой

кН

Определяем поперечную силу.

Ход слева:

Q_А=V_А =42, 25 кН

Q_С^лев=V_{А -} ql/2=42, 25 – 13 ·2, 5 = 9, 75 кН

Q_С^прав=V_А - ql/2- F=9, 75 – 19, 5 =- 9, 75 кН

Ход справа:

Q_В=- V_В = - 42, 25 кН

По найденным значениям строим эпюру Q_x (рис.9, г)

5. Определяем наибольшие касательные напряжения. Для этого из эпюры поперечных сил выбираем сечение, где Q_max = 42, 25 кН = 0, 0423 МН

Наибольшее касательное напряжение по высоте сечения возникает на уровне нейтральной оси и определяется по формуле Журавского:

S_x – статистический момент полусечения, расположенного выше или ниже нейтральной оси; b=d – толщина стенки двутавра; I_x; S_x, d берем из таблиц сортамента (приложение В) для двутавра № 36

b = d = 7, 5 мм = 0, 0075 мм

Поставив значения величин в формулу, получим

Па=17, 8 МПа

Строим эпюру касательных напряжений.

От нулевой линии на уровне нейтральной оси откладываем (рис.9, д). Зная характер эпюры, даем ее полное изображение.

Из условия прочности по касательным напряжениям

, получаем

МПа< γ _сR_с =1, 1 · 130 = 143 МПа

6. Большой запас прочности по касательным и по нормальным напряжениям:

МПа< γ _сR_с= =1, 1 · 210 = 143 МПа

можно объяснить тем, что сечение балки подбиралось, исходя из условия жесткости.