К задаче 6

К решению задачи можно приступить не ранее того, как будет изучена тема 2.7. «Устойчивость центрально-сжатых стержней».

На практике очень часто приходится решать задачу об устойчивости сжатых стержней. Если прямолинейный стержень сжимать силами, действующими по оси, то он будет укорачиваться, сохраняя свою прямолинейную форму. При некоторых условиях прямолинейная форма равновесия может оказаться неустойчивой, а стержень начнет искривляться (выпучиваться). Это явление называют продольным изгибом и наступает оно тем скорее, чем больше длина стержня по сравнению с размерами его поперечного сечения.

Условие задачи. Подобрать сечение равноустойчивой центрально сжатой сквозной колонны, изготовленной из стали марки Ст3 и составленной из двух швеллеров, соединенных приваренными к ним планками. Для колонны, условия закрепления ее концов и сжимающая сила указаны на рисунке 10, а, поперечное сечение - на рисунке 10, б.

Расчет выполнить по предельным состояниям, приняв нагрузку F нормативной (F_n) и состоящей из 25 % постоянной (F_ns = 0, 25 F_n) и 75% временной (F_np =0, 75 F_n) нагрузок. Считать коэффициент надежности по нагрузке для постоянной нагрузки для временной коэффициент условий работы расчетное сопротивление стали R =210 МПа.

Решение. Вычисляем расчетную продольную силу.

N= F_ngγ _ng + F_np = 0, 25 · 0, 51 ·1, 1 + 0, 75 · 0, 51·1, 2 = 0, 599 МН

Рис.10

Расчет относительно материальной оси.

Из условия устойчивости

задавшись для первого приближения коэффициентом продольного изгиба находим требуемую площадь сечения колонны

А_ТР = =0, 004 м²=40 см²

По сортаменту подбираем два швеллера № 16а с площадью А= 2× 19, 5=39 см²= 39× 10^{- 4} м² и радиусом инерции i_x= 6, 49 см.

Соответствующая гибкость колонны

Коэффициент по интерполяции (см. приложение Ж):

Проверяем напряжение

= 199, 5 МПа

Получили недонапряжение.

Подбираем два швеллера № 16: А= 2× 18, 1=36, 2´ 10 ^-4м²; i_x= 6, 42 см.

Соответствующая гибкость колонны

Коэффициент j₂ по интерполяции

Напряжение

МПа

Итак, принимаем сечение из двух швеллеров № 16.

Расчет на устойчивость сквозной колонны относительно свободной оси у сводится к определению расстояния b между швеллерами (смотреть рисунок 10, б). При этом в расчет вводится не гибкость , а так называемая приведенная гибкость l_пр, которая вследствие деформирования соединенных планок больше l, и для рассматриваемого случая определяется по формуле где - гибкость участка ветви (швеллера), заключенного между планками, относительно собственной оси у₀; она принимает в пределах 30…40.

Расстояние b между ветвями колонны определим из условия равноустойчивости в двух плоскостях: . Тогда требуемая гибкость относительно свободной оси

λ _ТР =

Требуемый радиус инерции сечения

см

Требуемый момент инерции І_у^тр = А·i_у^тр =2 · 18, 1 · 7, 21² = 1876, 6 см⁴

С другой стороны,

І_у = 2(І_ушв⁰ +А_шв· а²)= 2(63, 3 + 18, 1а²)

Приравниваем правые части обоих равенств

2(63, 3+18, 1а²)=1876, 6 или 63, 3+18, 1а²=938, 3,

откуда

Из рисунка 10, б видно, что b = 2·(а – z₀) = 2(7 – 1, 8) = 10, 4 см