Условия равновесия системы в обобщенных координатах.

Принцип возм переем в обобщ корд Q₁ϭ q₁+…+Q_sϭ q_s =0, т.к. ϭ qi независимы между собой необходимо чтобы Q1=0, …Qs=0. Для равновесия мех системы необх и достаточно чтобы все обобщ силы соотв выбранным для системы обобщ корд были равны нулю.

В случае потенциальной силы усл запишуться

При равновесии полный дифференциал функций U или П равны нулю. ϭ U(q1, …, qs)=0.

39. Уравнение Лагранжа 2 рода.

(i=1, 2…s) — дифференциальные уравнения второго порядка, s — число степеней свободы системы (число независимых координат); qi — обобщенная координата (перемещение, угол, площадь и др.); — обобщенная скорость (линейная скорость, угловая, секторная и др.),

Т = Т(q1, q2, …, qS,, …, t) — кинетическая энергия системы, Qi — обобщенная сила (сила, момент и др.), ее размерность зависит от размерности обобщенной координаты и размерности работы.

Для вычисления обобщенной силы, например Q1, задаем возможное перемещение, при котором все вариации обобщенных координат, кроме dq1, равны нулю:

dq1¹ 0, dq2= dq3=…= dqS= 0. Вычисляем на этом перемещении возможную работу dА1 всех активных сил, приложенных к системе. Имея dА1= Q1dq1, находим.

Если силы, действующие на систему, потенциальные (консервативные) (например, силы тяжести, силы упругости), то, П = П(q1, q2, …, qS, t) — потенциальная энергия.

Вводится функция Лагранжа: L = T — П, тогда — уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы.

При стационарных связях (связях, не зависящих от времени) t не входит в выражение для кинетической энергии, тогда — квадратичная форма обобщенных скоростей, aij= aji — коэффициенты инерции. Квадратичная форма всегда положительна.

40. Понятие об устойчивости. Теорема Лагранжа –Дирихле.

Если существует такое достаточно малое начальное отклонение стержня от положения равновесия, при котором силы стремятся вернуть стержень в положение равновесия, то такое положение равновесия считается устойчивым; Если силы отклоняют стержень еще сильнее — неустойчивое; если стержень после отклонения остается в равновесном положение — безразличное;

По Ляпунову: равновесие системы называется устойчивым, если для любого достаточно малого ε > 0 можно выбрать два других таких малых числа η 1> 0 и η 2> 0, что при удовлетворении начальными значениями обобщенных координат и скоростей неравенств |q0i|< η 1, |q˙ 0i|< η 2 в любой момент времени все обобщенные координаты подчиняются условиям |qi(t)|< ε.

Т. Лагранжа-Дирихле устанавливает достаточные условия устойчивости положения равновесия системы. Т. утверждает: Для устойчивости положения равновесия системы, подчиненной голономным, идеальным, стационарным и неосвобождающим связям и находящейся в стационарном потенциальном силовом поле, достаточно, чтобы потенциальная энергия в положении равновесия имела изолированный относительный минимум

41.Вывод и интегрирование дифференциального уравнения малых собственных колебаний механической системы с одной степенью свободы. Частота и пе­риод, амплитуда и начальная фаза колебаний.

Величины, характеризующие механические колебания:

1) x(t) — координата тела (смещение тела из положения равновесия) в момент времени t:

x=f(t), f(t)=f(t + T),

где f(t) — заданная периодическая функция времени t,

Т — период этой функции.

2) А (А > 0) — амплитуда — максимальное смещение тела xmax или системы тел от положения равновесия.

3) Т — период — длительность одного полного колебания, т. е. наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебание.

[T] = 1c.

4) ν — частота — число полных колебаний в единицу времени.

[ν ] = 1 c-1 = 1 Гц.

5) ω — циклическая частота — число полных колебаний за промежуток времени Δ t, равный 2π секунд:

ω = 2π ν = 2π /T,

[ω ] = 1 рад/с.

6) φ = ω t+ φ 0 — фаза — аргумент периодической функции, определяющий значение изменяющейся физической величины в данный момент времени t.

[φ ] = 1 рад (радиан)

7) φ 0 — начальная фаза, определяющая положение тела в начальный момент времени (t0 = 0).

Гармоническими называются колебания, при которых зависимость координаты (смещения) тела от времени описывается формулами:

x(t) = xmaxcos(ω t + φ 0) или x(t) = xmaxsin(ω t + φ 0).

Кинематическим законом гармонических колебаний (законом движения) называется зависимость координаты от времени x(t), позволяет определить положение тела, его скорость, ускорение в произвольный момент времени.

Гармонической колебательной системой или одномерным гармоническим осциллятором называют систему (тело), которая совершает гармонические колебания, описываемые уравнением:

ax(t) + ω 2х(t) = 0.

При гармонических колебаниях проекция ускорения точки прямо пропорциональна ее смещению из положения равновесия и противоположна ему по знаку.

Колебания материальной точки являются гармоническими, если они происходят под действием возвращающей силы, модуль которой прямо пропорционален смещению точки из положения равновесия:

Fx= - kx,

где к- постоянный коэффициент.

Знак «-» в формуле отражает возвратный характер силы.

Положению равновесия соответствует точка x=0, при этом возвращающая сила равна нулю