Парная регрессия

3. Рассчитайте параметры линейной парной регрессии для наиболее подходящего фактора Хj. (Выбор фактора можно сделать на основе анализа матрицы коэффициентов парной корреляции – выбираем тот фактор, который наиболее тесно связан с зависимой переменной).

Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции показывает, что зависимая переменная Y имеет тесную связь с оборотными активами X3 (0, 91516008) и долгосрочными обязательствами X1 (0, 783054233). Для построения линейной парной регрессии будет использовать наиболее подходящий фактор – X3.

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

Y = 65637, 27303 + 0, 26691722*X3

Откуда значения Y будут равны:

4. Оцените качество построенной модели с помощью коэффициента де- терминации, F-критерия Фишера.

Коэффициент детерминации

=0, 8375

Для оценки качества модели парной регрессии вычисляют коэффициент детерминации R ². Чем ближе к 1 значение этой характеристики, тем выше качество модели: значение R²=0, 8375, следовательно, 83.75% вариации результата Y - прибыли (убытков) определяет вариация фактора X₃ – оборотных активов_.

F-критерий Фишера

=247, 4172

Табличное значение F-критерия при доверительной вероятности α = 0, 95 и числе степеней свободы, равном ν ₁ = k = 1 и ν ₂ = n – k – 1= 50 – 1 – 1 = 48 составляет 4, 04.

Поскольку 4, 04= = 247, 4172, следовательно, построенное парное уравнение регрессии статистически значимо.

5. Проверьте выполнение условия гомоскедастичности

При проверке предпосылки МНК о гомоскедастичности остатков в модели множественной регрессии следует вначале определить, по отношению к какому из факторов дисперсия остатков более всего нарушена. Это можно сделать в результате визуального исследования графиков остатков, построенных по каждому из факторов, включенных в модель. Та из объясняющих переменных, от которой больше зависит дисперсия случайных возмущений, и будет упорядочена по возрастанию фактических значений при проверке теста Голдфельда-Квандта.

Для однофакторной модели нашего примера график остатков относительно фактора имеют вид:

На диаграмме ярко выражена направленность в распределении остатков, то есть непостоянство их дисперсии.
Основные этапы теста Голдфельда-Квандта:

1. Упорядочим переменные (Y, X) по возрастанию фактора X3 (в Excel для этого можно использовать команду Данные – Сортировка – По возрастанию X3).

2. Уберем из середины упорядоченной совокупности

С=1/4*n=1/4*50 = 12, 5 12 значений.

В результате получим две совокупности по ½ *(50-12)=1/2*38 = 19 значению соответственно с малыми и большими значениями X3.

3. Для каждой совокупности в отдельности выполним регрессионный анализ.

Для первой совокупности:

Для второй совокупности:

4. Найдем отношение полученных остаточных сумм квадратов (в числителе должна быть большая сумма):

5. Вывод о наличии гомоскедастичности остатков делаем с помощью F -критерия Фишера с уровнем значимости α = 0, 05 и двумя одинаковыми степенями свободы , где р – число параметров уравнении регрессии.

Так как , то отвергается гомоскедастичность в остатках регрессии. Таким образом, в остатках присутствует гетероскедастичность.

6. Используя результаты регрессионного анализа ранжируйте компании по степени эффективности.

В Excel для этого можно использовать команду Данные – Сортировка – По возрастанию У

7. Осуществите прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости α = 0, 1, если прогнозное значение фактора Хj составит 80% от его максимального значения. Представьте на графике фактические данные Y, результаты моделирования, прогнозные оценки и границы доверительного интервала.

а) точечный прогноз

Х_3прогн =0, 8*X_3max = 0, 8 * 63269757= 50615805, 6

а ) Гиперболическое уравнение: у = а *

Для построения этой модели необходимо произвести замену переменных путем введения новой переменной Х = 1/х.

Тогда гиперболическое уравнение примет вид:

У = а + b * Х - линейное уравнение регрессии.

б) Степенное уравнение у = а * х ^b

Для построения этой модели произведем линеаризацию переменных. Для этого прологарифмируем обе части уравнения:

lg у = lg а + b * lg x.

Обозначим У = lg у, Х = lg x, А = lg а. Тогда уравнение примет вид:

У = А + b * Х - линейное уравнение регрессии.

Уравнение регрессии будет иметь вид:

У = 2, 655313983 + 0, 551379626 *Х

Перейдем к исходным переменным у и х, выполнив потенцирование данного уравнения:

у = 10 ^{2, 655313983} * х ^{0, 551379626}

откуда

у = 452, 1827424 * х ^{0, 551379626}

в) Показательное уравнение: у = а * b ^x