Сочетания

События X = x_i (i = 1, 2, 3, …, n) являются несовместными и единственно возможными, т.е. они образуют полную систему событий. Поэтому сумма их вероятностей равна единице: р₁+р₂+р₃+…+р_n = ∑ p_i =1

2. Закон распределения может быть задан аналитически (формулой) P(X = x_i) = ϕ (x_i). Например:

а) с помощью биномиального распределения: P_n(X=k) = С_n^k p^k q^n-k, 0< р< 1, k = 0, 1, 2, …, n;

б) с помощью распределения Пуассона:

где λ > 0, k = 0, 1, 2, ….

в) с помощью функции распределения F(x), определяющей для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x, т.е. F(x) = P(X < x).

- свойства функции F(x)

3. Закон распределения может быть задан графически – многоугольником (полигоном) распределения.

Отметим, что для решения некоторых задач не обязательно знать закон распределения. В некоторых случаях достаточно знать одно или несколько чисел, отражающих наиболее важные особенности закона распределения. Это может быть число, имеющее смысл «среднего значения» случайной величины, или же число, показывающее средний размер отклонения случайной величины от своего среднего значения. Числа такого рода называют числовыми характеристиками случайной величины.

СВ Х дискретная, если существует конечное или счетное множество чисел х1, х2,..Хn таких что

Математические операции над дискрет СВ:

1)Сумма(разность, произведение)

Суммой(разность, произведение) дискркет СВ Х принемающей значение хi, с вероятнстями , гдеi=1, 2..n и дискрет СВ У, принемают значения yi с вероятностями , где j=1, 2..n называется дискрет СВ , равна сумме дискрет СВ Х и дискрет СВ У

Принимает значение:

2)Произведение Дискрет СВ на число С

Называют дискрет СВ СХ, принемающая значение СХi с вероятностью

Где i=1, 2,..n

2.!! Плотность распределения СВ(плотно расп вероят)- производная ее функция распределения
Функция распределенияСВ Х- функция f(х), которая для любого числа (множество действительных чисел)равно вероятности события F(x)=

Функция F(x)Называют ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Ряд распределения СВ может быть построен только для директ СВ, тк для неприрывной Св нельзя даже перечислить все ее возможные значения

Кроме того, вероятность каждого отдельно взятого значения непрерывна CВ=0

Функция F(х) геометрически можно истолковать как вероятность того, СВХ принемает значение, кот изображаются на числовой оси точкой, лежащей левее точки Х, т.е случайная точка Х пападет в интервал от(-бесконечности до х)

Свойства функции распределения:

1. F(х) ограничена

2. F(х) пребывающая функция на множестве действительных чисел

3.

4. Вероятность СВ Х в(а; в)= прикращению ее функции распределения на этом промежутке

Св Х называют непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференциирована всюду, ероме может быть отдельных точек.

Функция распределения для дискрет СВ имеет вид:

С помощью функции распределения вычислить события при условии СВ

3.!! Плотность распределения

Функцию F(x)так же называют дифференциальной функцией распределения, является одной з форм закона распределения СВ, существует только для непрерыв СВ

Из определения производно следует:

Плотность распределения обладает следущими свойствами:

1.f(х)-неотрицательна

2.вероятность поподания непрерывной СВ в промежуток от а до в по определённому интергалу от ее плотности

3.Функция распределения непрерыв Св может быть выражена через ее плотность по формуле

4. Условия номеровки.Несобственный интеграл от плотности вероятности непрерыв СВ в бесконечных пределах =1

4!!! Закон распределения полностью характеризует СВ, однако при решении многих адач достаточно знать некотрые численные параметры, характер отрицательны свойства заклона распред СВ.Такие числа называют числовыми характеристиками

Важнейшими среди них являются:

-математич ожидание

-мода

-медиана

Характеризуют положение СВ и характеристики расселения

-дисперсия

-среднеквадротичное отклонение

Математическое ожидание дискрет СВ Х имеющее закон распределения

Гдеi- кол-во элемент событий(i=1, 2..N) называется число равное сумме произведений всех ее значений на соответствующие ей вероятности

Вероятностный смысл МХ состоит в том, что оно является средним значением СВ.

Математическое ожидание непрерывности СВ

Свойства МХ:

1.математическое отрицание постоянной равно самой этой пстоянной

2.постоянный множитель вычитается за нак мат.ожидания

3.

4.

Дисперсия СВХ называется мат ожидание квадрата ее отклонения от своего мат.ожидания.

Характеризует разброс СВХ относительно ее мат.ожидания (МХ)

Формула ДХ для дискрет СВ Х:

Формула ДХ для непрерывности СВ Х:

Свойства дисперсии:

1.дисперсия посоянно равна 0 DC=0 с-const-постоянная

2.

3.

4.Дисперсия СВ не измениться, если к этой Св прибавить постоянную(С)

5.Если СВ Х и У независимы, то

Среднеквадратическое отклонение СВ Х называется квадратный корень из ее дисперсии

Модой дискретной СВх называется ее значение принимаемое с наибольшей вероятностью по сравнению с двумя соседними значениями

М0х для непрерывной СВХ явл. Точка макхимума плотности f(х).Если мода единственна, то распределение Св называется унимодальныси.В противоположном случаеполимодальным.

Среднеквадратичное отклонение СВ Х как

Лекция 5! Производственная функция.Основные законы распред случайной величены

1)производящая функция

2)осн.законы распределения случайной величины

1.Пусть дискретная СВ Х принемает значение от 0до к и от к до бесконечности

0, 1, 2..к..с с вероятностями соответственно

Производящей функцией для дискрет СВХ называается функция

Где -производный параметр и лежит в промежутке

Коэффициентами степенного ряда явл.вероятности закона распределения дискрет и СВ

Дифференциируя по производную функцию получилось

Если =1 то

Взяв вотрую производную от и наложив в ней =1 получим

Если =1, то

Где L-начальньны моменты времени второго и первого порядка

Тогда дисперсия СВХ будет равна

2)ПОДВОПРОСЫ: БИНАМИНАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЛЕНИЯ СВ

Среди законов распределения дискрет Св наиболеераспрастраненым является бинаминальное распределение.Дискрет Св Х имеет биномин.распред, если оно принемает значение от 0 до n, с вероятностями

где

СВХ распределенная по бинаминальному закону является числом успехов с вероятностью p в схеме Бернули с проведением n-независимых опытов

Если требуется вычислить вероятность не менее m успехов в n-независимых опытах, то вероятность, что СВ Х

Бывает, что удобно находить через, вероятность противоположного события:

Ряд распределения дискрет Св Х, имещей биноминальное распределение, имеет вид:

Для проверки используя формулу:

Функция рапределения СВх распределенной по бинальному закону имеет вид:

Числовые характеристики биноминальньного закона распределения:

1)производящей функцией Биномин.распределения яв:

\

2)Распределение Пуассона

Дискрет СВХ имеет распред Пуасона, если ее возможные значения от 0 до m..счетное множество значений, соответствующие им вероятности выражаются формуой Пуассона:

Распределение Пуассона явл предельнымдля биноминального, когда

Примерами Св, имеющие это распределение явл число вызовов, числоопечаток в тексте, т.д при этом считается что события появляются независимо друг от друга с пост среднейинтенсивностью, характеризующейсяпараметром а.

СВХ распределяется по законц пуассона имеет сл распределения

Контроль осуществляется по формуле:

3)Геометрическое распределение

Дискрет СВх имеет геометрическое распределение, если ее возможные значения полные числа 1, 2, 3, 4.., а вероятность их значений находиться по формуле:

Геометрическое распределение имеет СВХ равное числу опытов в схеме Бернули проведенных до первого успеха Р в единичном опыте

Ряд распределения СВХ имеющий геометрич распределение имеет вид:

Контроль осуществляется по формуле:

Значение по геометрическому закону

Является частным случаем распределения Паскаля.В этом распред СВХ принемаю значение

При r=1 распред Паскаля совпадает с геометрическим, при R> 1 совпадает с распределением суммы независимых Св, имеющих геометрич распределение при r-натуральное, оно описывает число опытов в схеме Бернули необходимое для того, чтобы получить значение1 равно r раз.

Распределение Паскаля имеет приложение к статистике несчастных случаев заболеваний

4)Гипергеометрический закон распределения

Дискрет СВХ имеет гипергеометрич закон распределени, если она принемает значение от 0 до m-натуральные числа

Гипергеометрическое распределение возникает в случаях, подобным следующим: В рне находиться n шаров из них m белых, из ние вынимают n шаров, найти вероятность того, что среди n-шаров, будет ровно m-белых шаров.

Mх дискрет СВХ имеющих гипергеометрич распределение можно найти по формуле:

Гипергеометрическое распределение определяется тремя параметрами: N, M, n-выборка, если n-мало в сравнении с N, связь такая , он приближается к биноминальному распределению(формула бернули)

Гипер.геом.распр используется, когда необходимо осузествить контролькачества прод.

5)Равномерный закон распределения

Непрерывные СВх имеет равномерное распределение на отрезке от а до в, если ее плотность вероятности f(х)построена на этом отрезке, а вне него равна 0.

Для равномерного распределения график плотности f(х):

Лекция 6 Элементы математической статистики

1)задачи и методы МС

2)Стат оценка параметров распределени