Статистические оценки параметров распределения.

Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет признак. Естественно возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение.

Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные выборки, например, значения количественного признака , полученные в результате наблюдений. Через эти данные и выражают оцениваемый параметр. Рассматривая как независимые случайные величины , можно сказать, что найти статистическую оценку неизвестного параметра распределения – это значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая и дает приближенное значение оцениваемого параметра.

(24)Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки

Пусть есть статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения. Допустим, что по выборке объема n найдена оценка . Повторим опыт, т. е. извлечем из генеральной совокупности другую выборку того же объема и по ее данным найдем оценку . Повторяя опыт многократно, получим числа , которые, вообще говоря, будут различны между собой. Таким образом, оценку можно рассматривать как случайную величину, а числа — как ее возможные значения.

Представим себе, что оценка дает приближенное значение с избытком; тогда каждое, найденное по данным выборок, число будет больше истинного значения . Ясно, что в этом случае и математическое ожидание (среднее значение) случайной величины будет больше, чем , т. е. . Очевидно, что если дает оценку с недостатком, то .

Соблюдение требований гарантирует от получения систематических ошибок.

Несмещенной называют статистическую ошибку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, т. е

Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки n) имеет наименьшую возможную дисперсию.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной.