Лекция 14. Расчет на действие силовой нагрузки

Расчет на действие силовой нагрузки

Рассмотрим в качестве примера расчет балки, изображенной на рис.14.1. Расчет проводим по методике, описанной выше.

1) Определение степени статической неопределимости.

Конструкция имеет один замкнутый контур и два простых шарнира. Следовательно, степень статической неопределимости равна:

n=3К-Ш=3*1-2=1.

2) Выбор основной системы.

Основную систему получим, отбросив правую опору и заменив ее действие силой (рис.14.1, б).

3) Составление канонического уравнения метода сил: .

4) Определение коэффициентов канонического уравнения.

4.1) Построение грузовой эпюры для основной системы

Изгибающий момент в основной системе от нагрузки находится по формуле: . Эпюра M_F приведена на рис.14.1, г.

4.2) Построение эпюры изгибающих моментов от силы Х ₁=1 (рис. 14.1, д).

Моменты от силы Х ₁=1 находятся по формуле . Эпюра приведена на рис. 14.1, е.

4.3) Вычисление коэффициентов по формуле Мора с использованием способа Верещагина.

; .

5). Решение системы канонических уравнений.

.

6). Построение окончательной эпюры моментов.

Окончательную эпюру строим с использованием формулы . Окончательная эпюра моментов приведена на рис. 14.1, ж.

7). Построение эпюры поперечных сил

Поперечные силы находим по формуле . Эпюра Q приведена на рис. 14.1, з.

8). Проверка окончательной эпюры моментов

Находим интеграл способом Верещагина. Получаем

.

Таким образом, задача решена правильно.

Расчет на действие температуры

Выведенная выше формула для температурных перемещений справедлива как для статически определимых, так и для статически неопределимых систем. Однако, в отличие от статически определимых систем в статически неопределимых возникают температурные усилия. Эти усилия могут быть найдены методом сил. Методику расчета рассмотрим на следующем примере.

Пусть требуется найти усилия в балке, изображенной на рис. 14.2. Так как балка статически неопределима, применим для ее расчета на действие температуры метод сил. Балка имеет одну лишнюю связь. Основная система для рассчитываемой балки изображена на рис. 14.2, б. Каноническое уравнение метода сил имеет вид

В этом уравнении - перемещение в основной системе по направлению силы Х ₁ от действия температуры. Это перемещение найдем по формуле (3.33). Для этого предварительно построим эпюру изгибающих моментов от силы Х ₁=1(рис.14.2, в). Так как единичная сила Х ₁=1 не создает продольной силы, то в данном случае w_N=0, w_M=0.5 l ². Тогда Знак минус в последней формуле объясняется тем, что температура и единичная сила вызывают деформации разных знаков (температура изгибает балку выпуклостью вверх, а единичная сила – выпуклостью вниз.

Подставляя значение в каноническое уравнение метода сил и решая его, находим

Для построения окончательной эпюры моментов умножаем единичную эпюру на найденное значение силы Х ₁. Окончательная эпюра моментов показана на рис. 14.2, г.

Расчет на заданное смещение опор

В статически неопределимых системах при смещении опор возникают внутренние усилия. Построим, например, эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для статически неопределимой балки, изображенной на рис. 14.3, а при повороте заделки на угол, равный 1.

Данная балка является однажды статически неопределимой. Основную систему для нее получим, отбросив правую опору. Действие отброшенной связи заменим силой X_1. Каноническое уравнение метода сил в данном случае записывается так:

,

где - перемещение в направлении отброшенной связи, вызванное поворотом левой заделки на угол, равный 1 (см. рис.3.61, в). Для определения этого перемещения приложим силу F ₁=1, вычислим реакцию в заделке М _А= l, найдем работу внешних сил единичного состояния на перемещениях действительного и, приравняв эту работу нулю, найдем искомое перемещение. Получим: Коэффициент d₁₁ имеет обычный смысл. Найдем его по формуле Мора с использованием правила Верещагина. Необходимая для этих вычислений эпюра изгибающих моментов от единичной неизвестной построена на рис. 14.3, б.

Подставляя найденные значения коэффициентов в каноническое уравнение и решая его, находим

X₁=-3EI/l². По известной силе X₁ строим эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. Эти эпюры приведены на рис. 14.4.

Аналогичным образом можно рассчитать однопролетные статически неопределимые балки с различными условиями опирания на различные воздействия. Полученные при этом результаты можно использовать при расчете сложных стержневых систем так называемым методом перемещений. Ввиду исключительной важности этих результатов приведем их в готовом виде. Эти результаты содержатся в приведенной ниже таблице.

4.3. Таблица эпюр моментов и поперечных сил в однопролетных статически неопределимых балках

Схема балки и воздействия Эпюра изгибающих моментов Эпюра поперечных сил

Схема балки и воздействия Эпюра изгибающих моментов Эпюра поперечных сил