Расчет стержневых систем методом перемещений

Выбор и определение числа неизвестных

Идею метода перемещений рассмотрим на примере. Пусть требуется рассчитать раму, изображенную на рис.3.63, а.

В результате деформации рамы под нагрузкой ее узлы смещаются в новое положение, приобретая при этом перемещения

Если бы удалось каким-либо образом найти эти перемещения, то дальнейший расчет свелся бы к расчету каждого стержня в отдельности как статически неопределимой балки на действие заданных нагрузок и узловых перемещений. При этом можно было бы пользоваться приведенной в разделе 3.2.2 таблицей. Метод расчета, в котором узловые перемещения рассматриваются как основные неизвестные, называется методом перемещений.

Сущность метода рассмотрим, упростив задачу, а именно: пренебрежем деформациями растяжения-сжатия. Тогда деформированное состояние будет таким, как показано на рис.3.63, б. При этом узлы смещаются по горизонтали за счет изгиба стоек на одно и то же расстояние d, узел 1 рамы поворачивается на угол , а узел 2 – на угол Число неизвестных при этом уменьшается до трех.

В общем случае число неизвестных метода перемещений n следует определять по формуле:

(3.42)

где n_у – число неизвестных углов поворота, n_л – число неизвестных линейных перемещений узлов.

Число неизвестных углов поворота для плоских конструкций в точности равно числу жестких узлов рамы. При этом жесткими называются такие узлы, в которых жестко соединяются между собой по крайней мере два стержня конструкции. Примеры жестких узлов показаны на рис.3.64.

Число неизвестных линейных узловых перемещений в упрощенном варианте расчета (без учета продольных деформаций стержней) подсчитывается следующим образом.

Предполагается, что расстояния между концами стержней вследствие изгиба изменяются незначительно и этими изменениями можно пренебречь. Это дает основание при подсчете числа независимых линейных перемещений узлов перейти к анализу шарнирно-стержневой системы, полученной из заданной постановкой полных шарниров во все узлы, включая опорные. Если в такой системе возможны перемещения узлов без деформаций удлинения или укорочения стержней, то они возможны и в заданной конструкции. Следовательно, число независимых линейных перемещений равно степени геометрической изменяемости шарнирно-стержневой системы, полученной описанным выше способом. Эта характеристика подсчитывается по формуле (3.21).

Вычислим по формуле (3.42), в качестве примера, число неизвестных метода перемещений для рамы рис.3.63. Рама имеет два жестких узла, следовательно n_у=2. Введем шарниры во все узлы рамы, как показано на рис.3.65.

По формуле 3.21, учитывая, что число стержней конструкции равно трем, а число опорных стержней – четырем (каждая шарнирно-неподвижная опора эквивалентна двум опорным стержням) находим:

n_л = W = 2У-С-С₀ = 2*4 - 3 - 4 = 1.

Таким образом, .