![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Дифференциальные уравнения равновесия жидкости
Выделим вокруг точки А, находящейся внутри покоящейся жидкости, элементарный объем в виде параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz, параллельными произвольно выбранным в пространстве осям координат (рис. 2.3). Отбросим мысленно, окружающую параллелепипед жидкость, заменив ее действие на грани соответствующими силами гидростатического давления. Пусть давление жидкости в точке А равно
на грани где
Элементарные силы давления на грани Кроме поверхностных сил на выделенный объем действуют также массовые силы, результирующая которых в общем случае будет Спроектируем все действующие на элементарный объем силы на ось Ох и приравняем сумму этих проекций нулю;
После приведения подобных и сокращения оставшихся слагаемых на
из которых видно, что. приращение гидростатического давления в направлении какой-либо координатной оси возможно только при наличии ускорения в этом направлении и происходит за счет массовых сил. Эти уравнения представляют собой общие условия равновесия жидкости в дифференциальной форме, выведенные в 1755 г. Л. Эйлером. Для приведения уравнений Эйлера к виду, удобному для интегрирования, умножим каждое из уравнений (2.3) соответственно на dx, dy, dz и сложим почленно:
В этом уравнении левая часть представляет собой полный дифференциал давления dp, поэтому
Полученное уравнение выражает функциональную зависимость давления от рода жидкости и координат точки в пространстве и позволяет определить значение давления в любой точке жидкости, находящейся в равновесии. Это уравнение справедливо для капельных жидкостей и для газов, причем для газов дополнительным условием равновесия является уравнение состояния (1.4). Из выражения (2.4) можно легко получить уравнение поверхности равного давления — поверхности, давление во всех точках которой одинаково При p= const dp=0, а так как ρ не может быть равно нулю, следовательно,
Уравнение (2.5) — уравнение поверхности равного давления, частным случаем которой является свободная поверхность жидкости. Рассмотрим несколько конкретных примеров и установим, какой вид будет иметь поверхность равного давления (в том числе и свободная поверхность) в этих случаях. Пример. Жидкость находится в равновесии в резервуаре в поле действия только силы тяжести (рис. 2.4, а). В этом случае проекции результирующей единичных массовых сил будут: Подставляя эти значения в (2.5), получим -a .dx – gdx = 0 или после интегрирования Это — уравнение горизонтальной плоскости. Следовательно, в покоящейся однородной жидкости r =i dem любая горизонтальная плоскость является плоскостью равного давления. Пример. Жидкость находится в равновесии в резервуаре, движущемся горизонтально с некоторым ускорением а (рис. 2.4, б). В этом случае любая частица жидкости находится под действием ускорений а и g, следовательно, проекции результирующей единичных массовых сил будут: Подставляя Это — уравнение наклонной плоскости. Следовательно, в данном случае поверхности равного давления представляют собой плоскости, наклонные к осям Ох и Оz и параллельные оси Оу. Угол наклона плоскости к горизонту может быть найден из выражения Пример. Жидкость находится в равновесии в цилиндрическом резервуаре, вращающемся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью со (рис. 2.4, в).В этом случае любая частица жидкости находится под действием ускорений силы тяжести g и центробежной силы инерции Это — уравнение параболоида вращения. Следовательно, в данном случае поверхности равного давления представляют собой семейство параболоидов вращения вокруг вертикальной оси. При сечении их вертикальной плоскостью получится семейство парабол с вершинами на оси Оz, а при сечении горизонтальной плоскостью — семейство концентрических окружностей с центром на оси Оz. В последних двух примерах рассмотрены случаи так называемого относительного покоя жидкости, когда она находится в резервуарах, движущихся тем или иным образом с постоянным ускорением, но частицы жидкости не перемещаются друг относительно друга и относительно стенок резервуара.
|