Силы давления покоящейся жидкости на криволинейные стенки

При криволинейной стенке определение значения, направления и точки приложения силы давления жидкости усложняется, так как элементарные силы давления, действующие нормально на каждую элементарную площадку стенки, имеют разные направления. В этом случае с целью упрощения (чтобы избежать интегрирования по криволинейной поверхности) приходится определять вначале составляющие силы давления по заданным направлениям,

например по осям координат х, у, z, а затем находить результирующую силу давления

Практически приходится иметь дело с криволинейными стенками, представляющими собой поверхности вращения (сферу, цилиндр, конус) и имеющими ось симметрии, лежащую в плоскости, нормальной к стенке, что существенно упрощает определение силы давления жидкости.

Определим силу давления жидкости Р на криволинейную стенку цилиндрической формы, след которой на рис. 2.13— линияMN.

Как и в предыдущем случае, выделим на стенке элементарную площадку dF (след ее на рис. 2.13 -—линия MN), находящуюся на расстоянии z от свободной поверхности. Сила давления Жидкости на эту элементарную площадку

Разложим dP на две взаимно перпендикулярные составляющие: горизонтальную и вертикальную и просуммируем отдельно все горизонтальные и все вертикальные составляющее_; ^: Ввиду малости элементарной площадки примем ее за плоскую и спроектируем на горизонтальную; и вертикальную.; плоскости..- Проекции. dF будут: ; - и

Найдем горизонтальную составляющую силы давления жидкости на криволинейную стенку _, которая представляет собой сумму всех элементарных горизонтальных составляющих Так как, dP_x =dPcosα =ρ gzdFcosα =ρ gzdF_z

где — статический момент площади вертикальной проекции криволинейной стенки относительно оси х, проходящей по свободной поверхности жидкости;

— площадь вертикальной проекции смоченной жидкостью криволинейной стенки;

— расстояние центра тяжести от свободной поверхности жидкости. Тогда

P_x = rgh_c F_z (2.27)

Таким образом, горизонтальная составляющая силы давления жидкости на криволинейную стенку равна силе давления жидкости на ее вертикальную проекцию [сравните уравнения (2.27) и (2.22)].

Найдем вертикальную составляющую силы давления жидкости на криволинейную стенку , которая представляет собой сумму всех элементарных вертикальных составляющих . Так как

dP_z =dPsina=rgzdFsina=rgzdF_x=rgdV

где элементарный объем жидкости, основанием которого является площадка , а высотой — расстояние от этой площадки до свободной поверхности жидкости z, то, проинтегрировав по всему объему V, получим

Таким образом, вертикальная составляющая силы давления жидкости на криволинейную стенку равна силе тяжести жидкости в объеме V, называемом телом давления.

Результирующая сила давления жидкости на криволинейную стенку цилиндрической формы Р равна геометрической сумме составляющих

и направлена под углом а к горизонту

Для нахождения тела давления можно воспользоваться следующим определением: тело давления - это объем ограниченный рассматриваемой кривoлинейной стенкой, смоченной жидкостью, вертикальной цилиндрической поверхностью, проведенной через контур этой стенки, и горизонтальной плоскостью, про­веденной по свободной поверхности жидкости.

Тело давления условно считается реальным, если его объем, прилегающий к стенке, заполнен жидкостью; составляющая при этом направлена вниз. Тело давления условно считается фиктивным, если его объем, прилегающий к стенке, не заполнен жидкостью; составляющая Р_z при этом направлена вверх.

На рис. 2.14 приведено несколько примеров тел давления для криволинейных стенок различной формы.

Пример. Определить силу давления нефти Р на цилиндрическую стенку резервуара (рис. 2.15) и угол наклона линии действия этой силы к горизонту , если радиус стенки м, ширина стенки м, высота нефти в резервуаре . Относительная плотность нефти

Вертикальная проекция криволинейной стенки представляет собой прямоугольник, площадь которого равна

Расстояние центра тяжести от свободной поверхности нефти равно

Тело давления представляет собой разность объемов параллелепипеда высотой H, шириной В и длиной R и четверти цилиндра с радиусом R и шириной В.

Таким образом, по уравнениям (2.27)—(2.29):

Угол наклона линии действия силы давления к горизонту определим из уравнения (2.30)