Уравнение неразрывности

Уравнение неразрывности (сплошности) является математиче­ским выражением закона сохранения массы в гидромеханике.

В движущейся жидкости выделим параллелепипед объема dV (рис. 3.11) с бесконечно малыми ребрами dx, dy, dz.

За время dt в него входит масса и выходит Прираще­ние массы в направлении оси ох (рис. 3.9)

По аналогии для других осей:

Приращение массы в параллелепипеде

(3.15)

Изменение массы в объеме do за время dt может быть только за счет изменения плотности, следовательно,

(3.16)

Приравняем выражения (3.15) и (3.16)

После элементарного преобразования и сокращения получим уравнение неразрывности в форме Эйлера

Для установившегося движения уравнение неразрывности примет вид

Если жидкость несжимаемая, то и уравнение неразрывности будет

Выделим в потоке объем жидкости abdc (рис. 3.10, а) весьма малой длины, при которой можно считать живые сечения входа ас и выхода bd одинаковыми и равными ω.

Так как средняя скорость v параллельна оси х, то v_x=v v_y =0; v_z =0.

Используя уравнение (3.18), получим

Следовательно, а поскольку живое сечение ω =const то произведение этих величин и основное условие

неразрывности (постоянства массового расхода) примет вид

Если жидкость несжимаемая то по уравнению (3.19) а следовательно, условие неразрывности выразится формулой

Если живое сечение потока изменяется (pис. 3.10. б), то при

Из соотношения (3.22) ясно, что скорости изменяются обратно пропорционально живым сечениям. Если плотность изменяется по длине, то

Последнее справедливо для газов, если скорость меньше скорости звука, и для капельной жидкости при отсутствии кавитации.