Тема 6.1. Основы теории гидродинамического подобия.

Подобие гидравлических явлений. Геометрическое, кинематичес­кое и динамическое подобие. Критерии подобия. Особенности моделиро­вания гидравлических явлений. Понятия об определяющих критериях подобия. Примеры моделирования гидравлических явлений при создании конструкций судовых машин.

Указания к теме 6.1.

1. Подобными называют такие потоки жидкости, у которых каждая характеризующая их физическая величина находится для любых сходственных точек в одинаковом отношении. Понятие гидродинамического подобия вклю­чает (рис. V—1) подобие поверхностей, ограничивающих потоки (геометрическое подобие); пропорциональность скоростей в сходственных точках и подобие траектории движения сходственных частиц жидкости (кинематическое подобие); пропорциональность сил, действующих на сход­ственные частицы жидкости и пропорциональность масс этих частиц (динамическое подобие).

Отношения однородных физических величин, постоян­ные во всех сходственных точках подобных потоков, на­зывают коэффициентами (масштабами) подобия. Соответ­ственно принятым в Международной системе единиц основ­ным физическим величинам (длина L, время Т и масса М) выделяют три основных коэффициента подобия; линейный масштаб , масштаб времени и мас­штаб масс . Масштабы всех остальных (произ­водных) физических величин выражаются через основные в соответствии с формулами размерности этих величин. Так, масштаб скоростей , сил одинаковой фи­зической природы , плотностей и т. д.

Используя выражения масштабов и, можно полу­чить для масштаба сил зависимость

, (6.1)

которая дает общий, закон динамического подобия Нью­тона:

(6.2)

Последний можно представить в форме

, (6.3)

согласно которой безразмерная величина Ne (число Нью­тона), пропорциональная отношению действующих на по­добные частицы сил к силам инер­ции этих частиц, имеет одинаковое значение в сходственных точках по­добных потоков.

2. Для рассматриваемого ниже установившегося движения однород­ных несжимаемых жидкостей необ­ходимыми и достаточными условиями гидродинамического подобия явля­ются:

а) геометрическое подобие гра­ничных поверхностей, омываемых потоками (включая в некоторых случаях и подобие шероховатостей стенок);

б) подобие кинематических краевых условий (подобное распределение скоростей во входных и выходных сече­ниях рассматриваемых объектов — каналов, местных со­противлений и т. д.);

в) одинаковые значения критериев динамического по­добия — безразмерных величин, пропорциональных отно­шениям сил инерции частиц жидкости к действующим на них силам вязкостного трения (число Рейнольдса Re) и
силам тяжести (число Фруда Fr).

Условием пропорциональности сил инерции и сил вяз­костного трения является одинаковое значение числа Re для потоков в натуре и модели

, (6.4)

где v — характерная (обычно средняя в сечении) скорость; L — характерный размер (обычно диаметр сечения D); — кинематическая вязкость.

Условие (4) приводит к соотношению для коэффи­циентов подобия:

(6.5)

и для скоростей в натуре и модели

(6.6)

Условием пропорциональности сил инерции и сил тя­жести является одинаковое значение числа Fr:

(6.7)

Так как ускорение свободного падения g в натуре и модели практически всегда одинаково (масштаб ускоре­ний; к_g = 1), условие (7) приводит к соотношению для коэффициентов подобия

(6.8)

и для скоростей в натуре и модели

(6.9)

Подобие потоков в натуре и модели требует одновре­менного выполнения условий (4) и (7) для чисел Rе и Fr или условий (5) и (8) для коэффициентов по­добия. Последнее возможно только тогда, когда масштабы линейных размеров и вязкостей находятся в соотношении

(6.10)

из которого следует, что в модели меньших по сравнению с натурой размеров должна применяться менее вязкая жидкость:

(6.11)

При выполнении условий подобия все безразмерные характеристики потока, т. е. безразмерные комбинации различных физических величин (например, коэффициенты сопротивления , скорости , расхода и т. д.), имеют в натуре и модели одинаковое численное значение.

Моделируя поток некоторой жидкости при заданном геометрическом масштабе объектов (рис. V—2), необ­ходимо применить в модели другую жидкость, вязкость которой будет удовлетворять условию (11). Выполнение при этом условия (9) для скоростей требует опре­деленного соотношения между располагаемыми перепа­дами пьезометрических уровней (гидростатическими на­порами) Н для натурного объекта и его модели. Так как по уравнению Бернулли любая характерная скорость мо­жет быть выражена как (где — безразмер­ный коэффициент скорости), получаем

(6.12)

т. е. располагаемые гидростатические напоры должны быть пропорциональны линейным размерам объектов.

Рис. V—2

При выполнении условий подобия масштаб времени для процессов течения в натуре и модели определяется принятым линейным масштабом и масштабом скоростей, равным по формуле (8)

Указанные соотношения позволяют выразить масштабы всех производных физических величин как функции двух независимых масштабов — и к . Так, для масштаба сил, исходя из формулы (1), имеем

Для масштаба расходов потерь напора , перепадов давлений

.

3. В большинстве случаев реализация условия (11) технически весьма затруднительна или невозможна. По­этому в практике моделирования обычно осуществляют частичное подобие потоков, при котором выполняется условие подобия главных сил, наиболее существенных для рассматриваемого гидравлического явления.

Если характер движения в основном определяется свойствами инертности и весомости жидкости, а влияние вязкости относительно невелико (безнапорные русловые потоки, истечение маловязких жидкостей через большие отверстия и водосливы, волновые движения и т. д.), мо­делирование осуществляется по критерию гравитацион­ного подобия. При этом выполняется условие (9) для скоростей, а условие равенства чисел Рейнольдса, приво­дящее к соотношению (11), не соблюдается (натура и модель работают обычно на одной и той же жидкости). При моделировании по числу Fr масштабы всех физиче­ских величин (за исключением вообще произвольного )выражаются через два независимых масштаба и таким же образом, как и при выполнении условий пол­ного подобия (табл. 1).

4. При напорном движении жидкости (для которого характерно отсутствие свободной поверхности) силы тя­жести не влияют на распределение скоростей в потоке, и для обеспечения кинематического подобия потоков вы­полнения условия гравитационного подобия не требуется. Вместе с тем характер движения существенно зависит от соотношения сил инерции и вязкости жидкости, поэтому моделирование напорных потоков осуществляется по кри­терию вязкостного подобия. Скорости в натуре и модели должны при этом удовлетворять соотношению (6) и определяться выбранными по условиям эксперимента
масштабами и . Если жидкости одинаковы ( = 1), то

(6.13)

Вопросы для самопроверки.

1.Какие потоки являются геометрически, кинематически и динами­чески подобными?

2. Сформулируйте условия гидродинамического подобия потоков и гидравлических машин.

3. Поясните физический смысл критерия Ньютона, Рейнольдса, Фруда и Эйлера.

4. Какая сила, действующая на поток жидкости, считается глав­ной действующей силой при моделировании по числу Фруда? По числу Рейнольдса?