Сложение и вычитание

При изучении этой темы рассматриваются приемы вычислений с однозначными числами без перехода через десяток, составляется таблица сложения в пределах 10, вводятся задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц, а также задачи в 2 действия, закрепляется умение решать задачи на нахождение неизвестного слагаемого.
При изучении сложения и вычитания в пределах первого десятка ставится задача добиться формирования у учащихся твердых вычислительных навыков, знания табличных случаев.
С помощью числового отрезка учащиеся решают большое количество примеров на сложение и вычитание в пределах десятка, а также примеров с «окошками», позволяющих раскрыть взаимосвязь действий сложения и вычитания и выяснить на практическом уровне правила нахождения неизвестных компонентов этих действий (разумеется, без использования соответствующих терминов).
Учащимся предстоит обнаружить общий принцип, общий подход к определению результата действия, благодаря которому можно быстро проводить вычисления. Ведь усвоение алгоритмов действий происходит только тогда, когда в дело включается рефлексия, за счет которой и выделяются сами схемы деятельности — способы решения задач или рассуждений.
Но ошибочно было бы полагать, что учащиеся сразу же, с первой постановки задачи, смогут обосновать способ вычисления, будут в состоянии самостоятельно выделить нужные случаи. Ребята должны быть психологически готовы к этой деятельности и иметь некоторое представление о рационализации вычислений. В этих целях уже с первых уроков работы с числовым отрезком учащиеся знакомятся с любопытными способами сложения и вычитания, анализируют их и выясняют преимущество одних методов над другими.
Во многом этому способствуют упражнения с игровыми кубиками, которые в целях пропедевтики действий сложения и вычитания чисел в пределах 10 предлагаются раньше, еще при изучении нумерации этих чисел. Так, в процессе работы с этими заданиями учащиеся знакомятся с примерами в несколько действий, усваивают приемы вычислений с помощью числового отрезка, учатся составлять и решать примеры, находить более рациональные пути вычислений.
Условия игры с кубиками очень простые. Учитель может познакомить с ними первоклассников с помощью объяснительного текста в упражнении 5 на с. 83 (часть 1). Например: «Маршрут движения фишки по числовому отрезку можно указывать с помощью квадратов, изображающих верхние грани кубиков. Красный квадрат показывает число делений, на которые нужно передвинуть фишку по числовому отрезку вправо. Синий квадрат — число делений, на которые нужно передвинуть фишку влево».
Позлее учитель должен сообщить, что маршрут движения мы можем записывать в виде примеров. Знак «+» (плюс) — это движение вправо, а «–» (минус) — движение влево. Записывают это, например, так: + 3 и – 5.
Работа с этими заданиями проходит живо и интересно для учащихся. Они легко усваивают нужные способы действия, причем в более трудных случаях, и способны переносить эти знания в новые ситуации.
Вместе с тем при рассмотрении приемов вида ϒ ± 1; ϒ ± 2 задачей учителя будет не столько добиться полной самостоятельности учащихся при получении нужных выводов, сколько раскрыть общую канву рассуждений. Позже, когда будут рассматриваться другие случаи вычислений, доля самостоятельности учащихся при выполнении заданий постепенно повышается. Этому способствуют задания на выбор наиболее удобного способа или на поиск различных способов вычисления.
1. Решайте примеры двумя способами. Какой из них удобнее?

2. Расскажите по рисункам и примерам о способах прибавления и вычитания 4 (часть 1, с. 112, № 5). Какие еще способы вы знаете? Почему их здесь нет?

Хорошими упражнениями для отработки вычислительных навыков являются игры-задания под названием «Чудесная лестница» и «Вычислительная машина». Сначала следует, разумеется, разъяснить учащимся условия этих игр. Беседа по числовой лесенке (часть 2, с. 43, № 5) может быть примерно такой:
— В сказочной стране чисел есть много удивительных сооружений и приборов. Это и числовые домики, и быстродействующие вычислительные машины, и разнообразные числовые лесенки. Посмотрите на картинку. Перед вами лестница превращений. Стоит числу подняться хотя бы на одну ступеньку вверх по этой лестнице или спуститься на ступеньку вниз, как оно сразу же изменяется: становится совершенно другим числом. Посмотрите, какое число хочет подняться по чудесной лестнице? (7.) Какое действие будет выполнено с этим числом, прежде чем оно перешагнет ступеньку? (Сложение.) Назовите пример полностью. (7 + 2.) Сколько получится? (9.) Какое число будет стоять на первой ступеньке? (9.) Запишите. Во что 9 превратится, когда поднимется на вторую ступеньку? (В число 5.) Почему? (На второй ступеньке написано –4.) Посчитайте, какие получатся числа на следующих ступеньках лестницы: третьей и четвертой ступеньках? (4 и 7.) Какое число будет стоять на вершине лестницы? (5.) Как узнали? (Из 7 вычли 2.) Запишите. Теперь число 5 хочет спуститься на одну ступеньку вниз. (Направление движения указано стрелкой.) Какой пример для этого надо решить? (5 + 4.) Сколько получится? (9.) Найдите следующие два числа на лестнице превращений. Назовите их по порядку, как вычисляли: сверху вниз. (7, 10.) Какое число получилось последним? (8.) Оно и спустилось с лестницы превращений. Запишите это число в пустую карточку.
Приведем теперь пример первой беседы по ознакомлению учащихся с принципом работы вычислительной машины (часть 2, с. 50, № 5).
— На картинке изображена удивительная вычислительная машина. Она может быстро выполнять все арифметические действия: складывать, вычитать, умножать и даже делить. Чтобы машина заработала, нужно записать число в первое окошко слева. С него начинаются вычисления. А над стрелками надо указать необходимые действия. Машина будет их выполнять, записывая промежуточные результаты в соответствующие круглые окошечки в конце стрелки. Окончательный результат (ответ) записывается в последнее окошечко, в квадратной рамке.
Какое число предложено для начала вычислений? (5.) Какое действие мы будем выполнять первым? (Сложение.) Почему? (Над стрелкой после окошечка с числом 5 записано +5.) Назовите пример полностью. (5 + 5.) Сколько получится? (10.) Куда мы запишем ответ 10? (В следующее окошечко.) Запишите. Какой пример решим потом? (10 – 7.) Сколько получится? (3.) Запишите ответ. Дальше самостоятельно. Назовите окончательный ответ. (4.) Назовите все числа, которые «машина» записала в окошечках от начала до конца. (5, 10, 3, 6, 4.)
Первой единицей измерения длины, с которой будут знакомиться первоклассники, является сантиметр (часть 1, с. 110—111). Хорошо, если учитель покажет учащимся модели сантиметра, сделанные из проволоки, картона. Затем сантиметр сравнивается с шириной указательного пальца и отрезком в две клетки в рабочей тетради. Не следует сразу использовать чертежную линейку, на которой есть миллиметровые деления. Лучше, если учащиеся изготовят из бумаги мерку в 1 см и с ее помощью будут узнавать длины данных отрезков. Обязательно разбираются 2 метода: метод укладывания и метод откладывания,
После этого ребята переходят к знакомству с линейкой. Как показывает опыт, лучше сначала работать с неоцифрованной линейкой. Для ее изготовления берут полоску плотной бумаги длиной 10 см, и учащиеся сами делят эту полоску на 10 равных частей с помощью мерки в 1 см. В дальнейшем под каждым делением дети могут подписать по порядку числа от 0 до 10.
Далее идут упражнения на измерение, отмеривание и вычерчивание отрезков в сантиметрах.
В этом разделе учащиеся знакомятся также с единицей измерения массы 1 кг и единицей измерения емкости 1 л.
Надо сказать, что отношения тяжелее и легче, а также способ сравнения предметов по массе взвешиванием их в руках известны детям еще с дошкольной поры. Однако они иногда склонны оценивать массу предметов по их размерам: предмет больших размеров имеет большую массу. Чтобы исключить эти заблуждения и показать необходимость выявления такого свойства, как масса, полезно предложить детям сравнить предметы одинаковых размеров, например спичечные коробки (но в один из них положить металлический шарик). Тогда учащиеся, взвесив их в руках, убедятся, что при сравнении масс предметов их размеры никакой роли не играют.
После ознакомления с килограммом на специально подобранных задачах отрабатываются два способа измерения массы: отвешивание и взвешивание.
Для закрепления приобретенных умений определять массу предметов на чашечных весах с гирями предлагаются упражнения с иллюстрациями.
При ознакомлении первоклассников с такой мерой, как литр, следует также иметь в виду, что обычно емкость предмета дети оценивают по его высоте. А именно, они ошибочно полагают, что более высокий предмет имеет большую емкость. Чтобы учащиеся осознали эту ошибку, можно провести небольшие учебные эксперименты.
Например, взять два сосуда одинаковой емкости, но разной высоты: стакан и мензурку. На глазах детей налить воду в стакан доверху. Затем перелить ее из стакана в мензурку. Дети убедятся, что мензурка вмещает столько же воды, что и стакан, хотя уровень ее в мензурке будет выше. Таким образом, дети приходят к выводу, что судить о емкости предмета только по его высоте еще недостаточно. Нужна специальная мера для определения емкости. Такой мерой и является литр.
В заключение общей характеристики содержания третьего раздела учебника остановимся на методике работы над задачей в 2 действия, не столько ввиду их относительной сложности для учащихся, сколько учитывая их значимость для всякого начинающего изучать математику.
Непосредственному введению таких задач в учебнике предшествует специальная подготовительная работа. В систему подготовительных заданий входит: а) постановка вопроса к готовому условию, б) подбор недостающих числовых данных, в) решение пар (цепочек) простых задач.
Для ознакомления учащихся с составной задачей в данном учебнике выбрана задача с двумя числовыми данными, а для самостоятельного решения — с тремя числовыми данными, в которых действие промежуточное и действие, определяемое вопросом, разные. Аргументы в пользу такого выбора можно привести следующие.
Эти задачи явно отличаются от простых. В их условии три числа. Из условий таких задач легко выделяются обе простые задачи, что быстрее приводит учащихся к уяснению существенного признака составной задачи: ее нельзя решить сразу, выполнив только одно действие. Здесь содержание задачи помогает правильному установлению связей.
Первой в учебнике приводится следующая задача: «Катя сделала из цветной бумаги 4 красных фонарика и 1 желтый. Она подарила сестре 2 фонарика. Сколько фонариков осталось у Кати?» (часть 2, с. 41).
Разбор этой задачи лучше начинать от главного вопроса. Покажем цепочку рассуждений, которые целесообразно провести, подводя учащихся к выбору действий.
— Что нужно узнать в задаче? Можно ли сразу узнать, сколько фонариков осталось у Кати? Почему? Что неизвестно? Можно ли сейчас узнать, сколько всего фонариков сделала Катя? Каким действием это можно сделать? Почему? Теперь можно ответить на вопрос задачи? Каким действием? Решена ли задача? Во сколько действий решается задача? Какое первое действие? Какое второе действие? Запишем решение задачи.
Решение задачи учитель закрепляет, задавая учащимся вопросы:
— Что означает число 5 в ответе первого действия? Как получили это число? Почему выполнили сложение? Что показывает число 3? Сколько действий нужно было сделать, чтобы ответить на вопрос задачи? Почему сразу одним действием нельзя было ответить на этот вопрос? Что мы не знали?
Для того чтобы учащиеся научились отличать составную задачу от простой, в учебнике предлагаются пары задач с одинаковым условием, но разными вопросами, такими, что одна из задач простая, а другая составная. Особое внимание обращается на дополнительную работу над задачей после ее решения. В этом плане можно выделить такие приемы, как изменение вопроса в простой задаче так, чтобы она решалась в два действия, дополнение условия простой задачи данными, изменение вопроса в составной задаче так, чтобы она решалась одним действием.
Постоянное сопоставление простых и составных задач поможет сознательному их решению.

Урок 16 (вторая четверть).
Задача (Часть 1, с. 104—105)

Цели урока:
1) уточнить термины, связанные с понятием задача: условие, вопрос, решение, ответ, познакомить учащихся с составом задачи; учить выбору действия при решении задачи;
2) закрепить вычислительные приемы вида: ϒ ± 1, ϒ ± 2.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.
2. Устные упражнения и практические работы.
1) На доске записаны примеры:

— В каких примерах ответ можно назвать сразу, не выполняя вычислений?
(В примерах с нулем.)
— Прочитайте эти примеры. (6 – 0 и 9 – 0.)
— Какими правилами вы воспользуетесь при вычислениях с нулем? (Если к числу прибавить 0 или из числа вычесть 0, то получится то же самое число.)
— Решите примеры с нулем.
— Каким правилом вы воспользуетесь при вычислениях с единицей? (Если к числу прибавить единицу, то получится следующее за ним число. Если вычесть единицу, то получится предыдущее число.)
— Прочитайте эти примеры и решите их.
— Каким правилом вы воспользуетесь при прибавлении числа 2? вычитании числа 2?
(Чтобы к числу прибавить 2, нужно сначала прибавить 1, а потом еще 1. Чтобы из числа вычесть 2, нужно сначала вычесть 1, а потом еще 1.)
— Прочитайте эти примеры по-разному и решите их.
2) На доске два набора картинок.
Составьте рассказы по картинкам и примерам.

Дети придумывают по картинкам разные истории, а учитель следит за тем, чтобы в этих рассказах прозвучали числовые данные и вопрос, что нужно найти. В противном случае учитель задает дополнительные, наводящие вопросы.
Иллюстрируя рассказы детей с помощью карточек с цифрами и знаком вопроса, учитель готовит детей к восприятию в дальнейшем краткой записи задачи. При этом дети должны заметить, что сюжеты рассказов по каждой картинке они придумали разные, а схемы одни и те же.

3. Физкультминутка.
4. Изучение нового материала.
На столе у учителя выложены картинки с изображением грибов. У учителя в руках корзина и фигурка Незнайки.
— Сейчас я расскажу очень короткую историю о том, как Незнайка собирал грибы. Слушайте внимательно.
Сначала Незнайка нашел 4 гриба (учитель показывает грибы, кладет их в корзину и на доску прикрепляет карточку с цифрой 4), а потом еще 2 гриба (показывает грибы, кладет в корзину и на доску рядом с цифрой 4 прикрепляет карточку с цифрой 2). Сколько всего грибов нашел Незнайка? (Ответ скрыт, а под цифрами 4 и 2 учитель прикрепляет карточку со знаком вопроса.)

— Такие истории в математике называют задачами. (Учитель прикрепляет табличку «Задача».) Давайте повторим задачу. Что в задаче мы знаем? (Незнайка нашел сначала 4 гриба, а потом еще 2 гриба.) Это условие задачи. (Рядом с цифрами 4 и 2 учитель прикрепляет карточку «Условие».) А о чем спрашивается в задаче? (Сколько всего грибов нашел Незнайка?) Это вопрос задачи. (На доске появляется табличка «Вопрос».) Всякая задача состоит из условия и вопроса. (Учитель проводит мелом соединительные линии от задачи к условию и вопросу.)
Теперь мы будем задачу решать. Как узнать, сколько всего грибов нашел Незнайка? (4 + 2.) Запишем этот пример и сосчитаем. (Учитель пишет на доске: 4 + 2 = 6 (г.).) Это решение задачи. (Выставляет рядом с этой записью табличку «Решение».)
Сколько же у нас получилось? (6.) Шесть грибов — это ответ задачи. (Пишет на доске 6 грибов и рядом прикрепляет табличку «Ответ».)
Так на доске появляется следующая схема:

5. Работа по учебнику. (Часть 1, с. 104—105.)
Беседа по картинке с объяснительным материалом.
— Сколько тетрадей было у Маши? (3.) Сколько тетрадей у Вити? (2.) Скажите полностью условие задачи. Прочитайте вопрос задачи. Можем мы узнать, сколько тетрадей было у Маши и Вити? (Да.) Как мы это узнаем? (3 + 2.) Сколько получится? (5 тетрадей.) Ответили мы на вопрос задачи? (Да.) Скажите решение задачи. Скажите ответ.
Упр. 1, с. 104.
— Прочитайте условие задачи. Прочитайте вопрос. О чем говорится в этой задаче? Что известно? Скажите полностью условие задачи. Что нужно узнать? Повторите вопрос задачи. Как узнать, сколько машин осталось в гараже? (4 – 1.) Сколько получится? (3.) Какие числа пропущены в решении задачи? (1 и 3.) Допишите решение. Скажите ответ задачи. (3 машины.) Заполните пропуски в ответе.
6. Физкультминутка.
7. Работа по учебнику. (Продолжение.)
Упр. 2, с. 104. Это задание направлено на закрепление умений выделять в задаче условие и вопрос, находить решение и формулировать ответ. При наличии времени решения этих задач желательно записать в тетради.
Упр. 3, с. 105. Это упражнение служит закреплению умений моделировать примеры в несколько действий с помощью красных и синих граней игральных кубиков. Беседа с учащимися здесь может быть построена так: «С какой точки числового отрезка начинает свой путь зеленая фишка? (С точки 1.) Запишем это число в первую клеточку (в начале примера). Какая грань кубика стоит первой в маршруте движения зеленой фишки? (Красная грань.) Сколько точек показано на этой грани? (5.) Что означает в примере красная грань с пятью точками? (Плюс 5.) Запишем число 5 во вторую клеточку примера. Назовите следующую грань в маршруте этой фишки. (Синяя грань с четырьмя точками.) Что она будет означать в примере? (Минус 4.) Запишите это число в пример. Какое число запишем в следующую пустую клеточку примера? (2.) Почему? (В маршруте движения фишки после грани, обозначающей минус 4, стоит красная грань с двумя точками, то есть плюс 2). Прочитайте полученный пример. Решите его. Сколько получилось в ответе? (4.)».
Заметим, что на этом этапе уже желательно, чтобы дети старались читать маршрут движения фишки, не называя цвет грани кубика и не указывая, сколько точек на ней обозначено (например, красная грань с пятью точками).
Лучше, если учащиеся будут характеризовать каждую грань, называя знак действия и число. Так, в первом примере это будут грани: плюс 5, минус 4, плюс 2. Поэтому вполне возможен и такой вариант беседы. «В примере, который нам нужно составить, уже указаны необходимые знаки действия. Нам остается только записать в пример недостающие числа. Их мы найдем в маршруте движения фишки. Прочитайте по порядку маршрут зеленой фишки, называя знак действия и число. (Плюс 5, минус 4, плюс 2.) Что означает число, которое будет записано первым в примере? (С какой точки фишка начала свое движение?) Где же стоит зеленая фишка? (В точке 1.) Запишите число 1 в первую клетку. Какое число нужно прибавить к 1? (Число 5.) Какое действие выполним после? (Вычитание.) Какое число будем вычитать? (4.) Запишите. Назовите следующее действие. (Сложение.) Сколько прибавим? (2.) Прочитайте пример. Решите его. Сколько получится? (4.)».
Упр. 4, с. 105. Ориентируясь на рисунок и выписав числа каждого из выделенных отрезков: 4, 5, 6 и 6, 7, 8, 9, учащиеся легко найдут их пересечение: число 6.
Упр. 5 и 6, с. 105, можно выполнить в классе при наличии времени.
8. Итог урока.