Геометрические характеристики сечений. Моменты инерции относительно параллельных осей.

Способность бруса сопротивляться деформации изгиб, кручение и др. зависит не только от свойств материала и его размеров, но и от формы поперечного сечения (при деформации растяжение, сжатие еще и от площади). Геометрические параметры, учитывающие параметры геометрических сечений:

-Sy, Sz-статические моменты площади

-Jy, Jz, Jyz, Jp-моменты инерции поперечного сечения

-WyWz, Wp-моменты сопротивления поперечных сечений

Статический момент площади А относительно оси у. Это геометрическая хар-ка определяемая интегралом вида; S_y=∫ _AZdA, аналогично S_z=∫ _AydA [СМ³ ], [М³ ]. Если известны координаты центра тяжести плоских фигур: Sy=Z_{центра тяжести}• Α, Sz=У_ц.т.•А, и наоборот Zцִ т=Sy/A, y_ц.т..=Sz/A

Статический момент площади относительно оси проходящей через центр тяжести фигуры равен 0

Центральные оси -это оси проходящие через центр тяжести фигуры

Моменты инерции:

a)Осевые

J_z=∫ _Ay²dA-момент инерции относительно оси z

J_y=∫ _Az²dA-момент инерции относительно оси y [M⁴], [CM⁴]

b)Центробежный момент инерции.

Главные оси плоской фигуры –J_zy=∫ _Az_ydA-это оси относительно которых центробежный момент инерции =0, > 0, < 0

c)Полярный

J_ρ =∫ _Aρ ²dA={ρ ²=z²+y²}=∫ _Az²dA+∫ _Ay²dA=J_y+J_z

Пусть известны моменты инерции бесконечно малой фигуры dF относительно центральных осей Z, y;

J_z=∫ _Fy²dF-момент инерции относительно оси z

J_y=∫ _Fz²dF-момент инерции относительно оси y

J_yz=∫ _FzydF

Определим моменты инерции относительно осей, параллельных центральным;

J_y1z1=∫ Fz₁y₁dF

J_y1=∫ _Fz²₁dF

J_z1=∫ _Fy²₁dF

Координаты любой точки в новой системе z₁O₁y₁ можно выразить через координаты в старых осях так;

z₁=z+b, y₁=y+a

Подставляем эти значения в формулы (те которые выше) и интегрируем почленно;

J_z1=∫ _Fy²₁dF=∫ _F(y+a)²dF= =∫ _Fy²dF+a²∫ _FdF+2a∫ _FydF

J_y1=∫ _Fz²₁dF=∫ _F(z+b)²dF= =∫ _Fz²dF+b²∫ _FdF+2b∫ _FzdF

J_y1z1=∫ _Fz₁y₁dF=∫ _F(z+b)(y+ +a)dF+ab∫ _FdF+a∫ _FzdF+b· ·∫ _FydF

Так как интегралы ∫ _FdF= =S_Z, ∫ _FzdF=S_y равны нулю как статические моменты относительно центральных осей, то формулы принимают вид;

J_Z1=J_Z+a²F

J_y1=J_y+b²F

J_z1y1=J_zy+abF

Cследовательно; 1) моменты инерции фигуры относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллель- ной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат рас- стояния между этими осями. 2)центробежный момент инерции относительно любой системы прямоугольных осей равен центробежному моменту относительно системы центральных осей, параллельных данным, плюс, произведение площади фигуры на координаты ее центра тяжести в новых осях.

Р.S.Координаты а, b, входящие в формулу следует подставлять с учетом их знака.