Кручение бруса круглого поперечного сечения. Определение напряжений и углов закручивания. Расчет на прочность и жесткость.

Деформацию, кручение вызывают пары внешних сил, плоскость действия которых перпендикулярна продольной оси бруса. Брус, работающий на кручение – балка.

Правило знаков для крутящих моментов (внутренних), возникающих в поперечном сечении под действием скручивающих (внешних): внешний момент считается положительным, если он вращает отсеченную часть вала против часовой стрелки, относительно продольной оси (следует смотреть со стороны поперечного сечения разреза). Знак физического смысла не имеет!

Напряжение и деформацию определяем для брусьев коль­цевого и круглого поперечных сечений. Касательные напря­жения, возникающие в попереч­ном сечении в каждой ее точке перпендикулярны ра­ди­ус-вектору этой точки.

T(x)=∫ _aτ dAρ =∫ _aτ ρ dA

Крутящий момент Т(х) равен сумме моментов всех элемен­тарных внутренних сил tda, возникающих в поперечном сечении разреза относительно продольной оси.

Гипотезы, положенные в основу вывода формулы:

- Сечения до де

формации остаются плоскими, и после деформации.

- Радиус-векторы точек сечения r в процессе деформации не искривляются.

j - угол закручивания или угол взаимного поворота 2 сечений, отстоящих на расстоянии ℓ. θ =dφ /dx=γ /ρ – относительный угол закручивания, γ – угол сдвига.

Закон Гука при кручении

τ = σ + γ; σ =Еε; I_Р-полярный момент инерции. Т(х)= ∫ _Аτ ρ dA = ∫ _А{(σ θ ρ)ρ dA/τ } =σ θ I_P. σ -модуль сдвига – характеризует свойства материала. σ I_P - жесткость поперечного сечения на кручение. Формула для вычисления взаимного угла поворота 2 сечений, находящихся на расстоянии l: φ =∫ _lT(x)dx/σ I_P

φ =å ^K_i=1(T(x)l_i)/G_iI_Pi, где к – число участков на которых величины Т, G, ρ – const. Т(х)-крутящий момент в рассматриваемом сечении. ρ -полярный момент инерции поперечного сечения. ρ -координата точки, в которой мы вычисляем напряжение.

Эпюра τ в поперечном сечении вала.

Расчеты на прочность и жесткость при кручении.

Прочность вала считается обеспеченной, если max напряжения τ _max в опасном сечении его не превышают допустимых.

Τ _max≤ [τ _КР]. Опасным для вала с W_ρ =const будет то сечение, в котором Т(х) мах. Wρ - полярный момент сопротивления сечения вала.

Iρ =π d⁴/32; Iy=Iz= π d⁴/64; Iρ =Iy+Iz; Wρ = Iρ /(d/2)= π d³/16=0.2d³

С условия прочности вытекает 3 типа задач:

1) проверочный расчет.

2) проектный расчет.

T(x)/Wρ ≤ [τ _КР]; Wρ ≥ T(x)/[τ _КР]; π d³/16≥ T(x)/[τ _КР]; d≥ ³√ (16T(x)/(π [τ _КР])) или d≥ ³√ (T(x)/(0.2[τ _КР])).

Для кольцевого сечения:

Iρ =π D⁴/32 - π d⁴/32=(π d⁴/32)(1-e⁴);

C=D/d; Wρ =(π d³/16)(1-e³)

d≥ ³√ (16T(x)/(π (1-c³)[τ _КР])) или

d≥ ³√ (T(x)/(0.2(1-c³)[τ _КР])).

3) определение грузоподъемности:

из условия прочности имеем:

T(x)/Wρ ≤ [τ _kp];

Расчет на жесткость: условие жесткости: φ =∫ _LT(x)dx/GIρ ≤ [φ ]; [φ ]=(4…17)10^-3 рад/м. Если Т(х)=const и Iρ =const, то: φ =T(x)dx/GIρ ≤ [φ ];