Потенциальная энергия деформации. Гипотезы прочности.

U=å ∫ (M²(x)dV/(2EI_z)); U равно половине произведения внешней силы на перемещение точки под этой силой (сумме произведений), что есть работа внешних сил на перемещениях точки под ними.

Для одноосного напряженного состояния:

U= ½ FΔ l; U=½ FΔ l/(Al)=σ ε /2= σ ²/2E;

При трехосном (пространственном напряженном состоянии):

U=σ ₁ε ₁/2+σ ₂ε ₂/2+σ ₃ε ₃/3=(1/2E)(σ ₁²+σ ₂²+σ ₃²-2υ (σ ₁σ ₂+σ ₂σ ₃+σ ₃σ ₁))

При деформации тела (пространственное) не только происходит изменение его объема, но и изменение формы (кубик → параллелепипед). U=U_V+U_Ф, где U_V – удельная потенциальная энергия изменения объема,

U_Ф – удельная потенциальная энергия формообразования (формоизменения).

U_V=(1-2υ /6E)(σ ₁+σ ₂+σ ₃)²;

U_Ф=(1+υ /6E)((σ ₁-σ ₂)²+(σ ₂-σ ₃)²+(σ ₃-σ ₁)²);

Гипотезы прочности:

Цель теории прочности – сравнить напряженное состояние пространственное, плоское с допускаемыми напряжениями, которые получены экспериментальным путем для одноосного напряженного состояния. Два напряженных состояния (например: трехосное и одноосное) равноопасны, если при увеличении главных напряжений в одно и тоже число раз эти напряженные состояния одновременно становятся предельными. Предельное состояние – состояние потери работоспособности. Для хрупких σ _в → разрушение, для пластичных материалов σ _т → потеря упругих свойств.

Напряжение при напряженном состоянии равно опасное данному трехосному напряженному состоянию называют эквивалентным (σ _экв). При формулировании теории прочности выбирают один или несколько факторов, приводящих к потере работоспособности элемента конструкции (величина напряжений σ, τ, величина деформаций ε, удельная потенциальная энергия, накопленная в теле) разрабатывается теорией, в которых учитывается скорость нагружения, температура, напряженное состояние, давление и т.д.

1-я теория прочности – теория нормальных наибольших напряжений, в соответствии с которой предельное состояние в точке тела наступает, если максимальные σ равны допускаемым. σ _экв1=σ ₁. Условие прочности: σ ₁≤ [σ ]. Для 2-х и 3-хосных н.с. дает погрешности, т.к. не учитывается σ ₂ и σ ₃, но хорошо работает для хрупких материалов.

2-я теория прочности – максимальная относительная деформация ε: предельное состояние наступает, если ε _max превышает допускаемую величину. Условие прочности: ε _max≤ [ε ]. Не применяется в настоящее время т.к. дает неудовлетворительные результаты.

3-я теория прочности – теория наибольших касательных напряжений: предельное состояние наступает, если, τ _max превышает допускаемую величину τ. При 3-осном состоянии:

τ _max=(σ ₁-σ ₃)/2;

При 2-осном состоянии:

τ _max=(σ ₁-σ ₂)/2;

При 1-осном н.с.: [τ ]=[σ ]/2.

Условие прочности: τ _max≤ [τ ].

((σ ₁-σ ₃)/2)≤ ([σ ]/2); σ _экв3≤ [σ ], где σ _экв3=σ ₁-σ ₃.

Дает хорошие результаты для пластичных деформаций, но е учитывает σ ₂.

4-я теория прочности – энергетическая: предельное состояние наступает, если удельная потенциальная энергия формоизменения превышает допускаемую величину.

U_Ф≤ [U_Ф]; U_Ф=(1+υ /6E)((σ ₁-σ ₂)²+(σ ₂-σ ₃)²+(σ ₃-σ ₁)²);

[U_Ф]=((1+υ)2[σ ]²)/6E; σ _экв4≤ [σ ];

σ _экв4=√ (½ [(σ ₁-σ ₂)²+(σ ₂-σ ₃)²+(σ ₃-σ ₁)²]);

В настоящее время продолжается разработка теории прочности с целью учета мех. числа факторов, влияющих на работоспособность элементов конструкции и на свойство материалов, т.к. один и тот же материал в зависимости от температуры, скорости нагружения, напряженного состояния и др. ведет себя как хрупкий или пластичный. Чем больше факторов учитывает, тем достовернее результаты, тем меньше коэффициент запаса прочности.