Вычисление угла между векторами

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка M - средина ребра DD₁, точка N - делит ребро AB в отношении 2: 1, считая от вершины A. Найдите угол между векторами MB₁ и NC₁

Решение

1.Выберем базис – три некомпланарных вектора, длины и углы между которыми известны. Пусть это будут вектора DD₁ =a, DC = b, DA = c.

2. Разложим вектора M B₁ и NС₁ в этом базисе: MB₁ = 0, 5а + с + b,

NС₁ = - а + с + 1/3b.

3. Найдем длины этих векторов:

M B₁² = (0, 5а + с +b)² =0, 25a² + c² + b² = 0, 25 а² + а² + а ²= 2, 25. | M B₁| = 1, 5а

N C₁² = (-а + с + 1/3b)² =a² + c² + 1/9b² = 2а² + 1/9а² = 19/9a². | N C₁| = а

4.Найдем скалярное произведение векторов, используя свойства скалярного произведения:

N C₁ ∙ MB₁ =(0, 5а + с +b)(-а + с + 1/3b)= - 0, 5а² + с² + 1/3b²= 5/6a².

5.Найти косинус угла между векторами по формуле

.

cos(N C₁ MB₁ ) =

6. Записать ответ .

Алгоритм вычисления угла между векторами:

1.Разложить данные вектора по трем базисным векторам, т.е.таким некомпланарным векторам, угол между которыми и длины которых известны.

2.Вычислить скалярное произведение данных векторов, используя свойства скалярного произведения.

3. Вычислить длины этих векторов, используя свойство скалярного квадрата вектора.

4.Вычислить косинус угла между векторами по формуле

.

5.Записать ответ .