Доказательство. 1.Пусть задана точка M0(x0 ; y0 ; z0 ) и ненулевой вектор .

1.Пусть задана точка M₀(x₀ ; y₀ ; z₀ ) и ненулевой вектор .

Составим уравнение плоскости α, которая проходит через точку M₀(x₀ ; y₀ ; z₀ ),

перпендикулярно ненулевому вектору .

Для любой точки M(x; y; z) плоскости α вектор перпендикулярен вектору

(рис.120), поэтому их скалярное произведение равно нулю.

Координаты вектора M₀M = (x - x₀ ; y - y₀; z - z₀ )

Запишем необходимое условие перпендикулярности векторов:

a (x - x₀ )+ b (y - y₀ ) + с(z - z₀ ) = 0, раскроем скобки,

получим a x + b y + сz + d = 0 (1), где d = - (a x₀ + by₀ + сz₀ ).

2. Покажем, что всякое уравнение первой степени с тремя переменными

a x + b y + сz + d = 0 задает в координатном пространстве некоторую плоскость, если a ² + b² + с ² ≠ 0.

Пусть a ≠ 0. Возьмем ненулевой вектор и точку M₀ (– d/a; 0; 0). В пространстве существует единственная плоскость, проходящая через точку и перпендикулярно данной прямой. Как было доказано, эта плоскость имеет вид

a (x + d/a)+ b (y - 0) + с(z - 0) = 0 или a x + b y + сz + d = 0.

Замечание. Вектор, перпендикулярный данной плоскости, называется нормальным вектором плоскости.

Координатный метод решения задач по стереометрии =13