Частотные характеристики

Если на вход линейного объекта подавать гармонический сиг­нал, например, вида x(t) = A sin ω t, то на выходе его в ус­тановившемся режиме мы получим также гармонический сигнал, чаcтота которого равна частоте входных колебаний, а амплитуда и фаза выходных колебаний будут отличаться от амплитуды и фазы входного сигнала, y_вын(t) = Bsin(ω t + φ)

(рис. 26).

Рис. 26.

Степень различия между параметрами входных и выходных гармонических сигналов не зависит от амплитуды и фазы входного сигнала, а определяется только динамическими свойст­вами самого объекта и частотой колебаний. Поэтому в качестве динамических характеристик объекта могут быть использованы так называемые частотные характеристики:

амплитудно-частотная ха­рактеристика (АЧХ) – M(ω), фазочастотная характеристика (ФЧХ) – φ (ω) и амплитудно-фазовая характеристика

(АФХ) – W(iω), определяемые формулами:

(1 - 21)

Таким образом АЧХ определяется отношением амплитуды выходных колебаний к амплитуде входного сигнала; ФЧХ есть разность фаз выходных и входных колебаний, а АФХ - комплексная функция, для которой АЧХ является модулем, а ФЧХ - аргументом.

Амплитудно-фазовая характеристика W(iω) может быть получе­на из дифференциального уравнения, если рассмотреть реакцию объекта на гармонический сигнал вида e^{iω t}.

Можно показать, что амплитудно-фазовая характеристика может быть получена из передаточной функции заменой р на iω.

Как всякая функция комплексного переменного, W(iω) может быть представлена двояко:

(1 – 22)

Здесь M(ω) – модуль W(iω);

φ (ω) – аргумент W(iω);

Re(ω) – действительная часть W(iω);

Im(ω) – мнимая часть W(iω)

связаны между собой известными соотношениями:

С изменением частоты колебаний амплитудно- и фазочастотные характеристики изменяются по определенному закону в зависимости от физических свойств объекта. Однако все реальные физические системы обладают одним общим свойством, которое заключается в том, что при увеличении частоты входных колебаний выше некоторой частоты среза ω _ср объект практически не реагирует на эти коле­бания, т.е. амплитуда выходных колебаний равна нулю.

Таким образом для любого реального объекта

На рисунке 27 показаны примеры амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик реальных объектов.

Рис. 27.

Амплитудно-фазовая характеристика W(iω) строится в плоcкости комплексного переменного и представляет собой годограф вектора, модуль и аргумент которого М(ω) и φ (ω) изменяются в зависимости от частоты.

Ниже (рис. 28) показано построение нескольких точек W(iω) и пример амплитудно-фазовой характеристики реального объекта.

Рис. 28.