Связь между динамическими характеристиками.

Выше были рассмотрены различные способы описания динамичес­ких характеристик, каждый из которых имеет свои достоинства, определяющие область его применения (возможность и относитель­ная простота экспериментального определения одних характерис­тик, общность и удобство использования для математических выкладок и расчетов других). Основными формами представления динамических характеристик являются:

1) передаточная функция;

2) частотные характеристики: амплитудно-частотная,

фазо-частотная и амплитудно-фазовая;

3) временные переходные характеристики: кривая разгона и импульсные

характеристики.

Любая из рассмотренных характеристик может быть определена, если известно дифференциальное уравнение объекта. Так переда­точная функция рассчитывается по формуле (1-15), амплитудно-фазовая характеристика - по формуле (1-21), уравнение кривой разгона является решением неоднородного дифференциального уравнения при постоянной правой части.

В свою очередь существуют методы, позволяющие определить коэффициенты дифференциального уравнения по экспериментальным динамическим характеристикам, например по кривой разгона. Из рассмотренных характеристик экспериментальном путем можно оп­ределить амплитудно- и фазочастотные характеристики и кривую разгона.

Остановимся на взаимосвязи между ИФП и другими характерис­тиками. Дельта-функция δ (t) может рассматриваться, как произ­водная от единичной ступенчатой функции, т.е. δ (t) = 1¹(t). Тогда изображение по Лапласу от δ (t) равно

Но ИПФ связана с дельта-функцией в операторной форме соотноше­нием

следовательно, изображение по Лапласу от ИПФ есть не что иное, как передаточная функция объекта. Если дельта-функция является производной от единичного скачка, то вследствие линейности объ­екта ИПФ является производной от кривой разгона, т.е.

Выясним, как можно определить коэффициент усиления линейно­го объекта по его динамическим характеристикам. Все нижесле­дующие соотношения выводятся из определения, согласно которому коэффициент усиления равен отношению выходной координаты объек­та к входной в установившемся режиме. Исходя из этого по диффе­ренциальному уравнению (1-2) коэффициент усиления определяется после приравнивания нулю всех членов, содержащих производные по времени (соответственно в формуле

(1-15) для передаточной функ­ции отбрасываются члены, содержащие р, а в формуле (1-21) для АЧХ - члены с iω). То же соотношение можно получить и из других соображений: если известна кривая разгона системы, сня­тая при ступенчатом возмущении величиной А, то коэффициент усиления равен отношению

Но по теореме о конечном значении функции

и при единичном возмущении (A=1) получаем, что коэффициент усиления объекта равен пределу его передаточной функции при p → 0 или k = b₀/a₀. Если учесть, что кривая разгона есть интеграл от ИФП, то

т.е. при A=1 коэффициент усиления равен площади, ограниченной кривой ИПФ.

Ниже приводится таблица, иллюстрирующая связь между основными

динамическими характеристиками (табл.1).

Дифференциальное уравнение     При нулевых начальных условиях
Исходные данные	Дифференци-альное уравнение	W(p)	h(t)	k(t)
Характеристика
Передаточная функция W(iω)
Амплитудно- фазовая харак- теристика W(iω)		Подстановка
Переходная функция h(t)	Решение при x(t) = I(t)
Ипульсная переходная функция k(t)	Решение При x(t) = δ (t)		k (t) = h’(t)

Таблица 1.

Глава 2. ТИПОВЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗВЕНЬЯ

Реальные промышленные объекты регулирования обычно являются весьма сложными системами. Однако, в ряде случаев при их иссле­довании можно не учитывать нелинейные свойства этих объектов и распределенность параметров, т.е. рассматривать их как линейные динамические системы с сосредоточенными параметрами. При таком упрощении любой объект может быть представлен как сочетание определенным образом связанных между собой простейшиих детектирующих звеньев. К рассмотрению этих звеньев, которые обычно называют типовыми звеньями, мы переходим в настоящем разделе. Обычно выделяют следующие типовые звенья:

1. Статическое звено нулевого порядка (усилительное звено).

2. Статическое звено первого порядка. (апериодическое звено, инерционное).

3. Звенья второго порядка: а)апериодическое; б)колебательное.

4. Интегрирующее звено.

5. Дифференцирующее звено.

6. Звено чистого запаздывания.

Последовательно рассматривая эти звенья, мы будем приводить следующие их характеристики:

- уравнение звена и пример его физического представления;

- передаточную функцию;

- частотные характеристики;

- кривую разгона и импульсную переходную функцию.

§1. Статическое звено нулевого порядка (усилительное).

Уравнение движения звена имеет вид:

(2 – 1)

где k - коэффициент усиления звена.

Таким образом выходной сигнал усилительного звена в любой момент времени равен входному сигналу, умноженному на коэффици­ент усиления. В качестве примеров усилительного звена можно указать различные усилители, рычажные передачи, редукторы.

Передаточная функция усилительного звена получается из его уравнения после преобразования его по Лапласу. Имеем:

Подставляя в W(p) p = iω, получим уравнение амплитудно-фазовой характеристики звена:

(2 – 2)

Отсюда амплитудно-частотная характеристика усилительного звена

(2 – 3)

Фазо-частотная характеристика имеет вид:

(2 - 4)

Рис. 29.

Таким образом частотные характеристики усилительного звена не зависят от частоты, причем фазо-частотная характеристика тож­дественно равна нулю, т.е. усилительное звено не изменяет фазы гармонических колебаний, поданных на его вход, а лишь изме­няет их по амплитуде в k раз. Амплитудно-фазовая характерис­тика является положительным действительным числом, следователь­но ее график представляет собой точку на положительной ветви действительной оси (рис. 29).

Переходная функция усилительного звена и его импульсная переход­ная функция представлены на рисунке 30.

Рис. 30.

§2. Статическое звено 1-го порядка (инерционное апериодическое).

В названии этого звена нашли отражение его характерные осо- бенности, а именно: порядок описывающего его дифференциального уравнения и апериодический, т.е. неколебательный характер переходных процессов. Примером таких звеньев может служить любая цепь, включающая сопротивление и емкость (RC – цепь), независимо от их физической природы например, бак со свободным истечением жидкости.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка для этого звена:

(2 – 5)

где T - постоянная времени звена;

k - коэффициент усиления, причем T и k -положительные константы. Постоянная временя характеризует инерционность зве­на и зависит от величин сопротивления и емкости - чем больше сопротивление и емкость, тем больше инерционность звена и больше T.

Передаточную функцию получим из уравнения (2 – 5):

Частотные характеристики:

(2 - 6)

Рис. 31.

Таким образом амплитудно-частотная характеристика звена 1-го порядка на нулевой частоте равна коэффициенту усиления k, а с увеличением частоты M(ω) монотонно уменьшается, асимпто­тически стремясь к нулю (рис. 31а). Фазо-частотная характе­ристика при увеличении частоты от 0 до ∞ изменяется от 0 до –π /2 (рис. 31б). Следовательно, годограф амплитудно-фазовой характеристики (для ω > 0) лежит целиком в четвертом квадранте и представляет собой полуокружность диаметром k с центром в точке k/2.

Уравнение переходной функции получим как решение уравнения (2-5) при x(t) = I(t), т.е. x(p) = 1/p. Тогда:

По таблице находим оригинал (риc. 32);

(2 - 7)

Рис. 32.

Кривая разгона апериодического звена 1-го по­рядка обладает следующим свойством: отрезок (ВС), заключен­ный между точками пересечения с асимптотой y = k перпендику­ляра и касательной к y(t), проведенными из любой точки А, есть постоянная величина, равная Т. Проверим это:

§3. Статическое звено 2-го порядка.

Уравнение такого звена является линейным дифференциальным уравнением 2-го порядка. В зависимости от величины коэффициентов в уравнении различают два типа таких звеньев: 1) апериодическое звено 2-го порядка;

2) колебательное звено.

Передаточная функция апериодического звена 2-го порядка равна

(2 – 9)

Как видно из (2-4), апериодическое звено 2-го порядка мож­но структурно представить в виде последовательного соединения двух звеньев первого порядка с постоянными времени T₁ и T₂ (рис. 33).

Рис. 33.

Рассмотрим частотные характеристики апериодического звена 2-го порядка (рис. 34):

(2 - 9)

Рис. 34.

Как следует из фазо-частотной характеристики, которая для положительных частот изменяется в пределах от 0 до -π, годограф АФХ должен лежать в 4-м и 3-м квадранте, причем модуль вектора W(iω) при изменении частоты от 0 до ∞ монотонно убывает от k до 0.

На рисунках 34 а, б для сравнения пунктиром показаны характеристики звена первого порядка с коэффициентом усиления k и постоянной времени T₁. Как видно из рисунка, добавление второго звена первого порядка, увеличивая инерционность объ­екта, уменьшает значение модуля АФХ и увеличивает отставание по фазе для каждой частоты по сравнению с одноемкостным объ­ектом.

Уравнение кривой разгона запишется в операторной форме в

виде:

Оригинал этой функции находим по таблице:

(2 - 10)

Графики переходных функций, показанные на рисунке 35, соответствуют различным соотношениям T₁ и T₂ и представляют собой неколебательные кривые, имеющие одну точку перегиба и асимптоти­чески стремящиеся к y=k.

Рис. 35.

Уравнение импульсной переходной функции получим дифференцированием

h_p(t):

(2 - 11)

Колебательное звено описывается уравнением вида:

(2 – 12)

где постоянные T_k и T_g и коэффициент усиления k – положи­тельные константы.

Характеристическое уравнение звена записывается следующим образом:

Корни этого уравнения

(2 – 13)

могут быть действительными или комплексными в зависимости от соотношения T_g и T_k, а именно:

при T_g/T_k ≥ 2 p_{1, 2} – действительные

при T_g/T_k < 2 p_{1, 2} – комплексные

В первом случае характеристическое уравнение удобно переписать в виде:

(2 – 14)

отсюда корни получатся

т.е. в этом случае мы имеем апериодическое звено 2-го порядка.

При Т_g/T_k < 2 корни характеристического уравнения комплексные и звено называется колебательным. Рассмотрим его характеристики.

Передаточная функция:

(2 - 15)

Частотные характеристики:

амплитyднo-фазoвая характеристика;

(2 – 16)

амплитудно-частотная характеристика;

(2 – 17)

фазо-частотная характеристика;

(2 - 18)

Рис. 36.

Анализ функции M(ω) показывает, что при малых значениях частоты, когда

ω ⁴ < < ω ², наблюдается некоторое увеличение M(ω) по сравнению с апериодическим звеном, причем при больших значениях отношения T_k/T_g на графике M(ω) появляется максимум. В преде­ле при T_g=0 получается резонансный пик (рис. 36). Уравнение переходной функции в операторной форме имеет вид:

По таблице изображений и оригиналов находим:

(2 - 19)

Рис. 37.

Таким образом переходные характеристики имеют колебательный характер.

В качестве примера колебательного звена можно привести систему, состоящую из пружины, демпфера и материального тела с мас­сой

(см.рис. 60).

Рис. 38.

Если на тело A воздействует сила f, то движение системы будет описываться уравнением

где

m - масса тела;

γ - коэффициент жесткости пружины;

r - коэффициент трения.

Если сравнить полученное уравнение о уравнением (2-10), то видно, что постоянная времени Т_к характеризует колебательные свойства системы, которые определяются жесткостью пружины; постоянная времени T_g характеризует демпфирующие (сглаживающие) свойства системы и зависит от коэффициента трения. Соотношение этих двух параметров – r и γ и определяет характер данного звена. Оно будет апериодическим, если преобладают демпфирующие свойства и колебательным при слабом демпфировании.

Из условия М (ω) = 0 найдем, при какой ω будет максимум M(ω)

(2 - 20)

§4. Интегрирующее звено

Уравнение движения интегрирующего звена имеет вид:

(2 – 21)

где T_u – постоянная времени звена.

Таким образом выходной сигнал интегрирующего звена равен интег­ралу по времени от входного сигнала, умноженному на передаточный коэффициент

Примером интегрирующих звеньев являются различные счетчики, суммирующие расход вещества или энергии за определенный промежуток времени. Другим примером может служить гидравлическая емкость, показанная на рисунке 29а. Действительно, если принять в качестве выходной координаты уровень в ёмкости, а за входную координату – разность между притоком и стоком QΩ – QΩ, то, так как скорость изменения уровня пропорциональна разности меж­ду притоком и стоком жидкости, уравнение гидравлической ёмкости будет аналогично уравнению (2-2).

Передаточную функцию интегрирующего звена получим после пре-­ образования по Лапласу уравнения (2-2).

(2 – 22)

Частотные характеристики выводятся из передаточной функции заменой p = iω:

(2 - 23)

Графики частотных характеристик представлены на рисунке 39.

Рис. 39.

Таким образом амплитудно-частотная характеристика интегрирующего звена является гиперболической функцией частоты, а фазо-частотная характеристика не зависит от частоты и равна –π /2, т.e. в интегрирующем звене выходные гармонические колебания отстают по фазе от входных колебаний на π /2. Амплитудно-фазовая характеристика является мнимой функцией частоты и годограф АФХ для положительных частот совпадает с отрицательной ветвью мнимой оси.

Переходные характеристики интегрирующего звена можно опреде­лить непосредственно из уравнения (2-2) подстановкой соот­ветствующих значений x(t)=1(t) и x(t)=δ (t). Тогда получим:

- уравнение переходной функции

(2 - 24)

- уравнение импульсной переходной функции

(2 - 25)

так как из свойств δ - функции (ε - малая вели­чина). Таким образом при подаче на вход интегрирующего звена неисчезающего постоянного возмущения, выходная координата его уве­личивается до бесконечности с постоянной скоростью (рис. 40а). Реакцией же звена на мгновенный импульс единичной площади являет­ся ступенчатая функция с амплитудой 1/Tu (рис. 40б).

Рис. 40.

§5. Дифференцирующее звено

Уравнение идеального дифференцирующего звена

(2 – 26)

т.е. изменение выходной координаты пропорционально скорости изменения входной координаты. В операторной форме уравнение (2-26) запишется в виде y(p) = kpx(p), откуда переда­точная функция

Частотные характеристики (рис. 44)

(2 – 27)

Таким образом амплитудно-частотная характеристика дифференци­рующего звена прямо пропорциональна частоте, а фазо-частотная не зависит от частоты и равна π /2. Следовательно годограф АфХ при ω > 0 совпадает с положительной ветвью мнимой оси.

Рис. 41.

Переходная функция идеального дифференцирующего звена согласно уравнению (2-3) имеет вид:

т.е. представляет собой δ -функцию с площадью, равной k.

Примеров идеальных дифференцирующих звеньев в природе не существует. Действительно, как видно из (2-27), значение ампли­тудно-частотной характеристики увеличивается до бесконечности c ростом частоты. Это значит, что при постоянной амплитуде вход­ного гармонического сигнала с увеличением частоты увеличивает­ся и амплитуда выходных сигналов. На самом деле, как указыва­лось выше, для реальных объектов при ω → ∞ M(ω)→ 0, т.е. любой реальный объект практически фильтрует гармонические сигналы с частотой, большей частоты среза данного объекта. Неосу­ществимость идеального дифференцирующего звена видна также и из кривой разгона, которая является дельта-функцией.

В качестве примеров дифференцирующих звеньев можно привести так называемые реальные дифференцирующие звенья, описываемые уравнениями вида

(2-28)

Например, RC-цепочка, схема кото­рой изображена на рисунке 42, может рассматриваться как реальное дифференцирующее звено.

Передаточная функция такого звена выводится из уравнения (2-28)

(2 – 29)

Рис. 42.

Частотные характеристики (рис. 43)

(2 - 30)

Рис. 43.

Амплитудно-частотная характеристика реального дифференцирую­щего звена, также как и для идеального звена, возрастает с уве­личением частоты, но ее верхний предел ограничен величиной T_g/T. Фазо-частотная характеристика равна π /2 лишь при ω =0, а при увеличения частоты φ (ω) уменьшается до нуля. Можно доказать, что для положительных частот годограф W(iω) представляет собой полуокружность диаметром T_g/T с центром в точке T_g/2T (рис. 43). Действительно, запишем W(iω) в прямоугольных координатах

Подставив полученные значения R_e(ω) и iIm(ω) в уравнение окружности радиуса T_g/2T c центром в точке T_g/2T, нетрудно убе­диться в справедливости равенства

Уравнение переходной функции определим из уравнения (2-29) в операторной форме:

Оригинал этой функции

(2 -31)

Импульсную переходную функцию найдем как производную от кривой разгона

(2 -32)

Рис. 44.

Сравнение кривых разгона идеального и реального звеньев (рис. 44а кривые 1 и 2) показывает, что в силу инерции реальных звеньев после установления постоянного значения входного сигнала изме­нение выходной координаты происходит постепенно, а не скачком, как в случае идеального звена.

§6.Звено чистого запаздывания.

Примером звена чистого (или транспортного) запаздывания яв­ляется транспортер (рис.45). Если за входную координату принять подачу груза в начале транспортёрной ленты, а за выход­ную - появление груза в конце транспортёра, то изменение вы­ходной координаты будет повторять входной сигнал x(t) с запаздыванием τ, равным времени движения груза от места погрузки до места выгрузки, т.е. τ = L/V (рис.46).

Рис. 45.

Таким образом, уравнение звена чистого запаздывания записы­вается в виде:

y(t) = x(t-τ). (2 - 33)

Рис. 46.

Записав уравнение звена в операторной форме

получим выражение для передаточной функции

(2 - 34)

Частотные характеристики (рис. 47):

(2 - 35)

Рис. 47.

Такт образом отставание по фазе выходных колебаний в звене чистого запаздывания прямо пропорционально частоте колебаний, а коэффициент пропорциональности равен времени чистого запаз­дывания (рис. 47б); в то же время модуль частотной характе­ристики M(ω) не зависит от частоты и равен 1 Следователь­но, годограф АФХ представляет собой окружность единичного радиу­са с центром в начале координат.

Глава 3. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

§1.Понятие устойчивости. Необходимое и достаточное

условие устойчивости.

Под устойчивостью понимают способность системы восстанавливать

исходное состояние равновесия после снятия внешнего возмущения. Различают три типа систем:

1) устойчивые системы - это системы, которые, будучи выведены из состояния равновесия каким-либо внешним возмущени­ем, после снятия этого возмущения возвращаются в исходное состояние равновесия;

2) нейтральные системы - системы, которые после снятия воз­мущения приходят в состояние равновесия, отличное от исходного;

3) неустойчивые системы - такие системы, в которых не уста­навливается равновесие после снятия возмущения.

Простейшие модели этих типов систем показаны на рисунке 48.

а) система устойчива; б) система неустойчива; в) система нейтральна

Рис.48.

Примерами устойчивых систем могут служить все рассмотренные выше типовые звенья, кроме интегрирующего, которое является нейтральным объектом. Это можно проиллюстрировать графиками пе­реходных процессов, соответствующим импульсным входным сигна­лам. На рисунке 49 изображены переходные процессы y(t) для звена 1-го порядка (рис. 49а) и интегрирующего звена (рис. 49б).

Примером неустойчивой системы может служить объект, охвачен­ный положительной обратной связью. Так, некоторые химические ре­акторы, в которых происходят экзотермические реакции, являются неустойчивыми объектами. Такие реакторы структурно можно рассма­тривать как объекты с положительной обратной связью, так как при повышении температуры скорость реакции увеличивается, что в свою очередь приводит к увеличению тепла реакции и повышению температуры.

Рис. 49.