Способы проецирования

В начертательной геометрии каждой точке трехмерного пространства ставится в соответствие определенная точка на плоскости. Геометрическими элементами отображения служат точки, линии, поверхности пространства. Изображение элемента на плоскости в начертательной геометрии получается при помощи различных способов проецирования, перенесения пространственного образа объекта на плоскость чертежа.

Операция проецирования, лежащая в основе получения изображений в начертательной геометрии, заключается в следующем. В пространстве выбирают произвольную точку S (рис..1.1) в качестве центра проецирования и плоскость Пi, не проходящая через точку S, в качестве плоскости проекций. Чтобы спроецировать точку А на плоскость Пi, через центр проецирования S проводят луч SА до его пересечения с плоскостью П_i в точке А_i. Точку А_i принято называть центральной проекцией точки А, а луч SА - проецирующим лучом. Аналогично получаются проекции точек А и В на плоскости Пi. Так как точки В, А, С принадлежат прямой m, то, соединив проекции точек В_i, А_i, С_i получим проекцию прямой m_i.

Описанные построения называются центральным проецированием точек пространства на плоскость.

Рис. 1.1

Прямая m пересекает плоскость П_i в точке C, для этой точки ее центральная проекция C_i совпадает с самой точкой.

При центральном проецировании могут существовать точки, которые не имеют центральных проекций (точка F), и в плоскости Пi есть точки, которые в пространстве не имеют оригиналов (точка D).

Точка F принадлежащая прямой m, одновременно находится на плоскости параллельной плоскости проекции, поэтому проецирующий луч SF, направленный из центра проецирования через эту точку, будет параллелен плоскости Пi и, следовательно, с ней не пересечется. Таких проекций не будут иметь и все другие точки расположенные в плоскости параллельной плоскости проекции и проходящей через точку S. Точка D_i проекции прямой m_i не имеет оригинала на прямой m, так как проецирующий луч SD_i параллелен прямой.

Такой способ проецирования применяется, например, в живописи и архитектуре для построения теней от так называемого “факельного” освещения.

Основными и неизменными его свойствами являются следующие:

1. Проекцией точки является точка;

2. Проекцией прямой является прямая;

3. Если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции прямой.

Несмотря, на его несомненные положительные свойства, применение центрального проецирования в техническом черчении принесет массу неудобств, поэтому для создания чертежей применяют другой способ, который называется параллельным проецированием.

Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального, когда центр проецирования удален в бесконечность, при этом проецирующие лучи можно рассматривать как параллельные проецирующие прямые. Положение проецирующих прямых относительно плоскости проекций определяется направлением проецирования S (рис..1.2). В этом случае полученное изображение называют параллельной проекцией объекта.

Рис. 1.2

При параллельном проецировании сохраняются свойства центрального и добавляются следующие:

1. Проекции параллельных прямых параллельны между собой;

2. Отношение отрезков прямой равно отношению их проекций;

3. Отношение отрезков двух параллельных прямых равно отношению их проекций.

В свою очередь параллельные проекции подразделяются на прямоугольные, когда проецирующие прямые перпендикулярны плоскости проекций, и косоугольные, когда направление проецирования образует с плоскостью проекций угол не равный 90⁰.

Таким образом, ортогональное (прямоугольное) проецирование является частным случаем параллельного и полученная этим методом проекция объекта называется ортогональной.

Ортогональному проецированию присущи все свойства параллельного и центрального проецирования и, кроме того, справедлива теорема о проецировании прямого угла: если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая не перпендикулярна ей, то прямой угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину (угол между проекциями остается равным 90⁰).

К проекционным изображениям в начертательной геометрии предъявляются следующие основные требования:

1. Обратимость – восстановление оригинала по его проекционным изображениям (чертежу) – возможность определять форму и размеры объекта, его положение и связь с окружающей средой;

2. Наглядность – чертеж должен создавать пространственное представление о форме предмета;

3. Точность – графические операции, выполненные на чертеже, должны давать достаточно точные результаты;

4. Простота – изображение должно быть простым по построению и должно допускать однозначное описание объекта в виде последовательности графических операций.