Решение. Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из тел 1, 2, 3, соединенных нитями

Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из тел 1, 2, 3, соединенных нитями. Изобразим все действующие на систему внешние силы.

Активные: силы тяжести груза – , блока – и катка – .

Реакции связей: реакции подшипника и ; нормальная и касательная (сила трения сцепления) реакции опорной плоскости катка 3, и кроме того, момент трения качения . Во время движения .

Скорость груза.

Для определения скорости V₁ применим теорему об изменении кинетической энергии в интегральной форме для неизменяемой системы:

= å .

Поскольку в начальный момент времени система находилась в покое, начальное значение кинетической энергии равно нулю .

Кинетическая энергия системы в процессе движения равна сумме кинетических энергий всех ее подвижных и массивных элементов

Вид формулы для кинетической энергии каждого тела зависит от характера его движения.

Кинетическая энергия груза 1, совершающего поступательное движение

Кинетическая энергия блока, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс,

.

Кинетическая энергия однородного катка, совершающего плоское движение,

.

При определении моментов инерции блока и катка относительно осей, проходящих через центры масс этих тел, считаем их однородными сплошными цилиндрами и используем формулы из справочника

. (1.6)

Замечание. В случае, когда для этих тел вращения заданы радиусы инерции , моменты инерции относительно указанных центральных осей вычисляем по формулам

. (1.7)

Выразим скорости и через искомую скорость груза . Будем полагать, что нить нерастяжима и не проскальзывает на блоке, тогда все ее точки имеют одинаковую скорость, и модули скоростей точек на ободе блока равны скорости груза .

Угловая скорость вращающегося блока будет равна

.

Поскольку груз и каток соединены нерастяжимой нитью, то скорость наивысшей точки Е катка будет равна скорости груза .

Рассматриваем движение катка, совершающего плоскопараллельное движение вместе с точкой Е, как вращательное вокруг мгновенного центра скоростей К (точки соприкосновения с неподвижной плоскостью). Выражаем угловую скорость и скорость центра катка по формуле вращательного движения

,

.

Подставляем эти скорости в выражения (1.3) – (1.5) и получаем

=

= ;

= .

Кинетическая энергия всей системы равна

T = . (1.14)