Матрицы

Прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов, вида

называется матрицей. Здесь a_ij – действительные числа (i = 1, 2, ¼, m;
j = 1, 2, ¼, n), называемые элементами матрицы, i и j – соответ-
ственно индексы строки и столбца. При этом произведение m ´ n числа строк на число столбцов называется размерностью матрицы A. Матрицы обозначаются буквами А, В, С, ¼.

Пример 1. Дана матрица

Размерность матрицы А – 2 × 3 (2 – число строк, 3 – число столбцов).

Элементы матрицы: а ₁₁ = 1, а ₁₂ = 2, а ₁₃ = –3, а ₂₁ = 4, а ₂₂ = 0, а ₂₃ = 8.

Тест 1. Размерность матрицы следующая:

1) 2 ´ 2;

2) 4 ´ 4;

3) 2 ´ 4;

4) 4 ´ 2;

5) 1 ´ 1.

Тест 2. Размерность матрицы следующая:

1) 1 ´ 2;

2) 5 ´ 3;

3) 3 ´ 5;

4) 2 ´ 1;

5) 1 ´ 1.

Тест 3. В матрице элементы b ₂₃, b ₃₄ следующие:

1) –1; 10;

2) 8; 1;

3) 3; 10;

4) 8; –4;

5) 4; 3.

В том случае, когда m = n, матрица называется квадратной порядка n (или n-го порядка).

Элемент a_ij квадратной матрицы A называется диагональным, если i = j.

Совокупность диагональных элементов квадратной матрицы называется ее главной диагональю: а ₁₁, а ₂₂, ¼, а_пп.

Пример 2. В матрице третьего порядка диагональными элементами являются Совокупность {1; 4; –6} – главная диагональ матрицы A.

Тест 4. Главную диагональ матрицы составляют элементы:

1) 2; 2;

2) 1; 2;

3) 2; 0;

4) 0; 2;

5) 0; 0.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее недиагональные элементы равны 0, т. е. матрица имеет вид

Единичной называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1. Обозначается буквой E и имеет следующий вид:

Пример 3. Матрица A – диагональная матрица третьего порядка:

Тест 5. Даны матрицы

Диагональной матрицей является матрица:

1) A;

2) B;

3) C;

4) D;

5) K.

Пример 4. Матрица E – единичная матрица второго порядка:

Пример 5. Матрица E – единичная матрица четвертого порядка:

Тест 6. Единичной матрицей третьего порядка E ₃ является матрица:

1)

2)

3)

4)

5)

Треугольной называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Различают соответственно верхнюю и нижнюю треугольные матрицы:

Пример 6. – треугольная (верхняя треугольная) матрица; – треугольная (нижняя треугольная) матрица.

Тест 7. Даны матрицы

Треугольной матрицей является матрица:

1) A;

2) B;

3) C;

4) D;

5) K.

Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю. Обозначается буквой O и имеет вид

Пример 7. Нулевая матрица размерности 2× 3 имеет вид

Тест 8. Нулевая матрица размерности 1× 3 имеет вид:

1)

2)

3)

4)

5)

Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковую размерность и их соответствующие элементы равны. Обозначение: A = B.

Пример 8. Указать, какие из матриц являются равными:

Решение

Найдем размерности матриц: A имеет размерность 2´ 2, B – 2´ 2,
C – 2´ 3, D – 2´ 2. Так как размерность матрицы C не совпадает с размерностями матриц A, B, D, то матрица C выбывает из дальнейшего рассмотрения. Для матриц A и B, матриц одинаковой размерности, проверим выполнение равенств соответствующих элементов: а ₁₁ = 1 и
b ₁₁ = 1, а ₁₂ = 2 и b ₁₂ = 2, а ₂₁ = 1, но b ₂₁ = 3. Следовательно, матрицы A и B неравны, т. е. A ¹ B. Для матриц A и D, матриц одинаковой размерности, проверим выполнение равенств соответствующих элементов: a ₁₁ = 1 и d ₁₁ = 1, a ₁₂ = 2 и d ₁₂ = 2, a ₂₁ = 1 и d ₂₁ = 1, a ₂₂ = 3 и d ₂₂ = 3. Следовательно, матрицы A и D равны, т. е. A = D.

Ответ: A = D.

Тест 9. Даны матрицы Равными являются матрицы:

1) B и M;

2) D и K;

3) F и C;

4) A и D;

5) A и F.

Произведением матрицы A на число k или числа k на матрицу A называется матрица C, каждый элемент которой получен умножением соответствующего элемента матрицы A на число k. Обозначение:
C = A × k (или C = k × A).

Пример 9. Дано:

k = 2.

Найти произведение матрицы A на число k.

Решение

Произведение матрицы А на число k рассчитывается следующим образом:

= =

=

Тест 10. Если матрица то есть матрица:

1)

2)

3)

4)

5)

Суммой матриц A и B одинаковой размерности называется матрица C той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A и B. Обозначение: C = A + B.

Пример 10. Даны матрицы и

Найти сумму матриц A и B.

Решение

Сравним размерности данных матриц. Матрица А имеет размерность 2´ 4, матрица B – 2´ 4. Так как размерности матриц одинаковы, то их сумма существует. Найдем ее:

+ = =

Ответ: .

Тест 11. Даны матрицы

Существует сумма матриц:

1) A + B;

2) A + C;

3) A + D;

4) D + C;

5) B + C.

Тест 12. Даны матрицы и

Найти среди следующих матриц матрицу, равную A + B:

1)

2)

3)

4) сумма не существует;

5)

Разность двух матриц A и B одинаковой размерности определяется через предыдущие операции:

Пример 11. Даны матрицы и

Найти разность матриц A и B.

Решение

Сравним размерности данных матриц. Матрица A имеет размерность 2´ 2, матрица B – 2´ 2. Так как размерности матриц одинаковы, то их разность существует. Найдем ее:

= + =

=

Ответ:

Тест 13. Даны матрицы и

Найти среди следующих матриц матрицу, равную A – B:

1) (1; 1);

2)

3) (0; 1);

4) разность не существует;

5) (0; –1).

Произведением матрицы А размерности m ´ n на матрицу В размерности n ´ k называется матрица С размерности m ´ k, элементы которой c_ij равны сумме произведений соответствующих элементов
i -й строки матрицы и j- го столбца матрицы.

где

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы (первого множителя) равно числу строк второй матрицы (второго множителя).

Тест 14. Даны матрицы

Существует произведение матриц:

1) A × B;

2) B × C;

3) C × B;

4) B × D;

5) D × B.

Получение элемента c_ij схематично изображено на рисунке 18.

i j

Рисунок 18

Пример 12. Найти произведение матриц

=

.

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

· А × (В × С) = (А × В) × С;

· А × (В + С) = АВ + АС;

· (А + В) × С = АС + ВС;

· a(АВ) = (a А) В = А (a В), где А, В, С – матрицы, a – число.

Пример 13. Даныматрицы и

Найти: А × В, В × А.

Решение

Найдем размерности данных матриц. Матрица А имеет размерность 2´ 3, матрица В – 2´ 2. Произведение А × В не определено, так как число столбцов матрицы А (3) не совпадает с числом строк матрицы В (2). Произведение В × А существует. Найдем его:

= =

Ответ: А × В – не существует; В × А

Тест 15. Даны матрицы и

Матрица А × В есть матрица:

1)

2)

3)

4)

5) произведение не существует.

Целой положительной степенью А^m (m > 1) квадратной матрицы А называется произведение m матриц, равных А, т. е.

По определению полагают: А ⁰ = Е, А ¹ = А.

Операция возведения в степень обладает следующими свойствами:

·

· где А – матрица, m, k – числа.

Пример 14. Данаматрица . Найти A ³.

Решение

Ответ:

Тест 16. Дана матрица Матрица А ² есть матрица:

5) не существует.

Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка. Полученная при этом матрица называется транспонированной матрицей относительно исходной. Матрица, транспонированная относительно матрицы A, обозначается A^T.

Пример 15. Дана матрица Найти матрицу A^T, транспонированную относительно матрицы A.

Решение

Ответ:

Тест 17. Дана матрица Найти среди следующих матриц матрицу, транспонированную относительно A:

5)

Введем обозначения: n! = 1 × 2 × ¼ × n, n Î N; 0! = 1.

Определителем матрицы A n -го порядка называется алгебраическая сумма n! произведений n- го порядка элементов этой матрицы, причем в каждое произведение входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца данной матрицы.

Обозначение:

Правила вычисления определителей:

1) матрицы первого порядка =

2) матрицы A второго порядка

= =

3) матрицы A третьего порядка (правило Саррюса)

= = =

Пример 16. Вычислить определитель матрицы А = (–1).

Решение

= = –1.

Ответ: –1.

Пример 17. Вычислить определитель матрицы

Решение

= 1 × 3 – (–2) × 2 = 3 – (–4) = 3 + 4 = 7.

Ответ: 7.

Пример 18. Вычислить определитель матрицы C =

Решение

C = = 1 × 0 × (–2) + 3 × 6 × 2 + (–1) × 5 × 4 – (2 × 0 × 4 + 5 × 6 ´
´ 1 + (–1) × 3 × (–2)) = 0 + 36 – 20 – (0 + 30 + 6) = 16 – 36 = –20.

Ответ: –20.

Тест 18. Определитель матрицы А = (7) равен:

1) 7;

2) –7;

3) 7²;

4) 7¹;

5) 7⁰.

Тест 19. Определитель матрицы равен:

1) 1;

2) 2;

3) 3;

4) 4;

5) 5.

Тест 20. Определитель матрицы равен:

1) 8;

2) 16;

3) 10;

4) 4;

5) 15.

Минором M_ij элемента a_ij матрицы А n -го порядка называется определитель матрицы (n – 1)-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i -й строки и j -го столбца.

Пример 19. Найти минор M ₃₂ элемента a ₃₂ матрицы

Решение

M ₃₂ = = 1 × 1 × 3 + 2 × 2 × 1 + 1 × 2 × 0 – (1 × 1 × 0 + 2 × 2 × 1 +
+ 2 × 1 × 3) = 3 + 4 + 0 – (0 + 4 + 6) = 7 – 10 = –3.

Ответ: –3.

Тест 21. Минор M ₁₂ элемента a ₁₂ матрицы A = равен:

1) 1;

2) 2;

3) 3;

4) 4;

5) не существует.

Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij матрицы А называется число, равное

Пример 20. Найти алгебраическое дополнение A ₂₃ элемента a ₂₃ матрицы

Решение

= = = (–1) × (1 × 2 – 2 × 1) = (–1) × 0 = 0.

Ответ: 0.

Тест 22. Алгебраическое дополнение A ₂₁ элемента a ₂₁ матрицы
А = равно:

1) 2;

2) 3;

3) 1;

4) –2;

5) –3.

Теорема (о разложении определителя по строке (столбцу)). Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

Пример 21. Вычислить определитель матрицы

Решение

= (раскладываем по четвертому столбцу) = 4 × A ₁₄ + 0 ´
´ = 4 × =
= (раскладываем по второй строке) = 4 ∙ (–1) × (0 × =
= –4 × (0 + 1 × = –4 × ´
´ = –4 × (1 × 1 × (2 × 2 – 1 × 1) + 2 × (–1) × (2 × 1 – 1 × 1)) = –4 ´
´ (3 – 2) = –4 × 1 = –4.

Ответ: –4.

Тест 23. Разложение определителя матрицы А = по первой строке имеет вид:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 24. Разложение определителя матрицы А = по второму столбцу имеет вид:

1)

2)

3)

4)

5)

Матрица В называется обратной к матрице А, если А × В = В × А = Е. Обозначение: В =

Пример 22. Дана матрица А = . Используя определение обратной матрицы, выяснить, является ли матрица В = обратной к матрице А.

Решение

Проверим выполнение равенств А × В = Е × В × А = Е.

А × В = ∙ = = = Е.

В × А = ∙ = = = Е.

Следовательно, матрица В является обратной матрицей к матрице А.

Ответ: является.

Тест 25. Дана матрица А = Используя определение обратной матрицы, выяснить, является ли матрица В = обратной матрицей к матрице А:

1) является;

2) не является.

Тест 26. Дана матрица А = Используя определение обратной матрицы, выяснить, является ли матрица В = обратной матрицей к матрице А:

1) является;

2) не является.

Теорема (о вычислении обратной матрицы). Матрица имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. Обратная матрица А ^–1 имеет следующий вид:

Пример 23. Найти A ^–1, если А =

Решение

Воспользуемся теоремой о вычислении обратной матрицы.

1. Найдем определитель матрицы

= = 2 × 1 – 3 × 1 = –1. Так как ≠ 0, то матрица A ^–1 существует.

2.

Вычислим алгебраические дополнения:

·

·

·

·

Запишем A ^–1, используя определение умножения матрицы на число:

= –1∙ = =

Проверка: А × A ^–1 = ∙ = =

= = Е.

А × A ^–1 = ∙ = = = Е.

Ответ:

Тест 27. Если для матрицы А второго порядка: = 3, 2, 4, 1, –1, то A ^–1 есть матрица, равная:

1)

2)

3)

4)

5)

Квадратичной формой n переменных x ₁; x ₂; ¼; x_n называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятым с некоторым коэффициентом.

Обозначение:

Пример 24. Указать, является ли сумма квадратичной формой от двух переменных:

а)

б)

в)

Ответ:

а) да;

б) нет (так как слагаемое не является ни квадратом одной из переменных, ни произведением двух разных переменных, взятым с коэффициентом, равным 2);

в) да.

Предположим, что коэффициенты квадратичной формы a_ij – действительные числа, причем a_ij = a_ji. Матрица А n -го порядка, составленная из этих коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы.

Пример 25. Дана квадратичная форма

= .

Найти матрицу А квадратичной формы.

Решение

Так как данная квадратичная форма f от трех переменных, то порядок матрицы А равен трем. Диагональные элементы этой матрицы равны коэффициентам при квадратах переменных, т. е. а ₁₁ = 2, а ₂₂ = 1, а ₃₃ = –3, а другие элементы – половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы: а ₁₂ = а ₂₁ = –6 ¸ 2 = –3; а ₁₃ = а ₃₁ = 10 ¸ 2 = 5. Остальные элементы матрицы А равны нулю. Поэтому

Ответ:

Тест 28. Дана квадратичная форма f (x ₁; x ₂) = Матрицей данной квадратичной формы является матрица:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 29. Дана квадратичная форма

f (x ₁; x ₂) =

Матрицей данной квадратичной формы является матрица:

1)

2)

3)

4)

5)

Квадратичная форма f (x ₁; x ₂; ¼; x_n) имеет канонический вид, если все ее коэффициенты a_ij = 0 при i ≠ j: f (x ₁; x ₂; ¼; x_n) =
=

Пример 26. Указать, имеет ли квадратичная форма канонический вид:

а) f (x ₁; x ₂; x ₃) =

б) f (x ₁; x ₂; x ₃) =

в) f (x ₁; x ₂; x ₃) =

г) f (x ₁; x ₂; x ₃) =

д) f (x ₁; x ₂) =

Ответ: а) нет; б) да; в) да; г) да; д) нет.

Ответы на тестовые задания