Действительные числа. Числовые множества

Свойства действительных чисел

Рассмотрим действительные числа. Сначала в процессе счета возникает так называемый натуральный ряд чисел 1, 2, 3, …, n, …. В арифметике вводятся действия сложения и умножения над натуральными числами. Что же касается операций вычитания и деления, то они уже оказываются не всегда возможными во множестве натуральных чисел. Чтобы все четыре арифметические операции были возможны для любой пары чисел (кроме операции деления на ноль, которой нельзя приписать разумного смысла), приходится расширить класс рассматриваемых чисел. К необходимости такого расширения запаса чисел приводят также потребности измерения тех или иных геометрических и физических величин. Поэтому вводятся число ноль и целые отрицательные числа (вида –1, –2, …, – n, …), а затем и рациональные (вида , где p и q − целые, ≠ 0). Та же потребность измерения величин и проведения таких операций, как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений, приводит к дальнейшему расширению запаса рассматриваемых чисел: появляются иррациональные и, наконец, комплексные числа. Все рациональные и все иррациональные числа образуют множество всех действительных чисел.

Множество действительных чиселобозначается через R (от лат. realus − действительный). Это множество образует совокупность, в которой определены взаимосвязанные операции сложения, умножения и сравнения чисел по величине и которая обладает определенного рода непрерывностью.

Свойства действительных чисел следующие:

1. Операция сложения. Для любой упорядоченной пары действительных чисел a и b определено, и притом единственным образом, число, называемое их суммой и обозначаемое через a + b, так, что при этом имеют место следующие свойства:

· Для любой пары чисел a и b

a + b = b + a.

Это свойство называется переместительным, или коммутативным законом сложения.

· Для любой тройки чисел a, b и c

a + (b + c)= (a + b)+ c.

Это свойство называется сочетательным, или ассоциативным законом сложения.

· Существует число, обозначаемое 0 и называемое нулем, такое, что для любого числа a

a + 0 = a.

· Для любого числа a существует число, обозначаемое – a и называемое противоположным данному, такое, что

a +(–a) = 0.

2. Операция умножения. Для любой упорядоченной пары чисел a и b определено, и притом единственным образом, число, называемое их произведением и обозначаемое ab, так, что при этом имеют место следующие свойства:

· Для любой пары чисел a и b

ab = ba.

Это свойство называется переместительным, или коммутативным законом умножения.

· Для любой тройки чисел a, b и c

a (bc) = (ab) c.

Это свойство называется сочетательным, или ассоциативным законом умножения.

· Существует число, обозначаемое 1 и называемое единицей, такое, что для любого числа a

a × 1 = a.

· Для любого числа a ≠ 0существует число, обозначаемое и называемое обратным данному, такое, что

а × = 1.

3. Связь операций сложения и умножения. Для любой тройки чисел a, b и c

(a + b) c = ac + bc.

Это свойство называется распределительным, или дистрибутивным законом умножения относительно сложения.

4. Упорядоченность. Для каждого числа a определено одно из соотношений a > 0, a = 0 или a < 0, при этом, если a > 0, b > 0, то

a + b > 0,

ab > 0.

Тест 1. Указать, какое из чисел является натуральным:

1) 376;

2) ;

3) 3 i – 2;

4) 0;

5) –3.

Тест 2. Указать, какое из чисел не является действительным:

1) 36

2) ;

3) 3 i – 2;

4) 0;

5) .

Тест 3. Переместительный закон умножения не выполняется для множества:

1) целых чисел;

2) действительных чисел;

3) матриц;

4) комплексных чисел.

Тест 4. Противоположным для числа 2 является число:

1) –2;

2) ;

3) ;

4) .

Тест 5. Обратным для числа 4 является число:

1) –4;

2) ;

3) ;

4) .