Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Предел числовой последовательности
|
|
Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу А при увеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгое определение.
Число А называется пределом числовой последовательности 
:
(1)
если для любого e > 0 найдется такое число n 0 = n 0(e), зависящее от e, что 
при n > n 0.
Это определение означает, что А есть предел числовой последовательности, если ее общий член неограниченно приближается к А при возрастании n. Геометрически это значит, что для любого e > 0 можно найти такое число n 0, что, начиная с n > n 0, все члены последовательности расположены внутри интервала (А – e, А + e). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.
Числовая последовательность может иметь только один предел (конечный или бесконечный) определенного знака.
Пример 5. Гармоническая последовательность 
имеет пределом число 0. Действительно, для любого интервала (–e; +e) в качестве номера N 0 можно взять какое-либо целое число, больше 
. Тогда для всех n > n 0 > имеем 
Пример 6. Последовательность 2, 5, 2, 5, ¼ является расходящейся. Действительно, никакой интервал длины, меньшей, например, единицы, не может содержать всех членов последовательности, начиная с некоторого номера.
Последовательность называется ограниченной, если существует такое число М, что 
для всех n. Всякая сходящаяся последовательность ограничена. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел. Всякая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.
Пример 7. Последовательность 
является возрастающей и ограниченной. Она имеет предел 
= е.
Число e называется числом Эйлера и приблизительно равно 2, 718 28.
Тест 9. Последовательность 1, 4, 9, 16, ¼ является:
1) сходящейся;
2) расходящейся;
3) ограниченной;
4) арифметической прогрессией;
5) геометрической прогрессией.
Тест 10. Последовательность 
является:
1) сходящейся;
2) расходящейся;
3) ограниченной;
4) арифметической прогрессией;
5) геометрической прогрессией.
Тест 11. Последовательность 
не является:
1) сходящейся;
2) расходящейся;
3) ограниченной;
4) гармонической.
Тест 12. Предел последовательности, заданной общим членом 
равен:
1) 1;
2) 0;
3) e;
4) p.