Предел функции одной переменной

Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств. Под множествами будут пониматься числовые множества, т. е. множества, состоящие из действительных чисел.

Определение. Если каждому элементу х из некоторого множества Х поставлен в соответствие по определенному правилу f некоторый единственный элемент у из множества У (рисунок 23), то говорят, что на множестве Х задана функция у = f (х), х Î Х.

Рисунок 23

Элемент х называется независимой переменной, или аргументом, а у – зависимой, или функцией.

Множество Х называется областью определения данной функции и обозначается D (f), а У – множеством (областью) значений функции и обозначается Е (f).

Задать функцию f – значит указать, как по каждому значению аргумента х находить соответствующее ему значение функции f (х). Существуют три основных способа задания функций: аналитический, графический, табличный.

Аналитический способ заключается в том, что зависимость между переменными величинами определяется с помощью формулы, указывающей, какие действия нужно выполнить, чтобы получить значение функции, соответствующее данному значению аргумента.

Пример 1. Формула y = х ² задает функцию, областью определения которой является числовая прямая (–¥; +¥), а множеством значений – полупрямая [0; +¥) (рисунок 24). Формула у = задает функцию, областью определения которой является отрезок [–1; 1], а множеством значений – отрезок [0; 1] (рисунок 25).

Рисунок 24

Рисунок 25

При графическом способе задается график функции.

Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране дисплея. Значения функции у,
соответствующие тем или иным значениям аргумента х, непосредственно находятся из этого графика.

Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком – его неточность.

При табличном способе функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции (например, известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы).

Определение. Графиком функции у = f (х) в прямоугольной системе координат Оху называется множество всех точек, плоскости с координатами (х; у), х Î D (f).

Например, графиком функции у = является верхняя полуокружность радиуса R = 1 с центром в О (0; 0)(рисунок 25).

Пусть функция у = f (u) определена на множестве D, а функция
u = j(x) – на множестве D ₁, причем для х Î D ₁ соответствующее значение u = j(х) Î D. Тогда на множестве D ₁ определена функция
u = f (j(х)), которая называется сложной функцией от х (или функцией от аргумента, или суперпозицией заданной функции).

Переменную u = j(х) называют промежуточным аргументом сложной функции.

Например, функция у = sin2 x есть суперпозиция двух функций
у = sin u и и = 2 х.

Основными элементарными функциями называют следующие:

1. Постоянная функция y = c, c – const.

2. Степенная функция y = x ^a, a – любое действительное число.

3. Показательная функция y = a^x (0 < a ¹ 1).

4. Логарифмическая функция y = log _a x (0 < a ¹ 1).

5. Тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.

6. Обратные тригонометрические функции у = arcsin x, y = arcos x, y = arctg x, y = arcctg x.

Функцию, аналитическое выражение которой можно получить при помощи конечного числа арифметических операций над основными элементарными функциями, а также при помощи операции взятия функции от функции, назовем элементарной функцией.

Определение. Число называется пределом функции y = f (x) при x, стремящемся к a (или в точке a), если для любого наперед заданного положительного числа e[1] (хотя бы и сколь угодно малого) можно найти такое положительное число d[2] (вообще говоря, зависящее от e; d = d(e)), что для всех значений x, входящих в область определения функции, отличных от a и удовлетворяющих неравенству

(1)

имеет место неравенство

(2)

Если число a является пределом функции f (x) в точке a, то этот факт символически записывают следующим образом:

или при

С помощью логических символов определение имеет вид

.

Отметим, что неравенства можно записать в виде

Данное определение называют определением предела функции по Коши1, или «на языке e – d».

Смысл определения предела функции f (x) в точке а состоит в том, что для всех значений х, достаточно близких к а, значения функции f (x) как угодно мало отличаются от числа А (по абсолютной величине).

Пример 2. Пользуясь определением Коши, доказать, что

Доказательство. Пусть e > 0. Найдем число d(e), такое, что для всех х из промежутка выполняется неравенство

Поскольку для всех х ¹ 1, то в качестве d(e) мы можем взять e.

Итак, для произвольного числа e > 0 мы нашли число d(e) = e, такое, что для всех из промежутка выполняется неравенство

Это означает, что

Следует заметить, что нахождение пределов функций, пользуясь определением предела по Коши, чаще всего затруднительно. Поэтому позже укажем некоторые приемы нахождения предела функции.

Если при стремлении х к а переменная х принимает лишь значения, меньшие а, или наоборот, лишь значения, большие а, и при этом функция f (x) стремится к некоторому числу А, то говорят об односторонних пределах функции f (x) соответственно слева f (x) и справа f (x).

Определение этих пределов будет аналогично рассмотренному выше при х ® а.

Здесь вместо значений х, удовлетворяющих условию (1), при которых верно неравенство (2), необходимо рассматривать значения х, такие, что при х ® а – 0 (слева), или значения х, такие, что при х ® а + 0 (справа).

Замечание. Если f (x) = f (x) = А, то f (x) = А. Если в точке а функция f (x) имеет конечные левый и правый пределы и они равны между собой, то это число является пределом функции в точке а.

Пример 3. Найти односторонние пределы функции

f (x) в точке а = 3 (рисунок 26).

Решение

Вычислим

f (x) =

f (x) =

Так как односторонние пределы существуют, то

f (x) ¹ f (x) в точке а = 3 функция предела не имеет.

Рисунок 26

Кроме рассмотренных понятий предела функции при и односторонних пределов существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение. Число называется пределом функции y = f (x) при x, стремящемся к бесконечности, если для любого (сколь угодно малого) положительного числа e > 0 найдется такое положительное число S > 0 (зависящее от e), что для всех x, таких, что верно неравенство

(3)

Предел функции f (x) в бесконечности обозначается

f (x) = А или f (x) ® А при

С помощью логических символов определение имеет вид

Смысл определения состоит в том, что при достаточно больших по модулю значениях x значения функции f (x) как угодно мало отличаются от числа A (по абсолютной величине).

Пример 4. Доказать, что

Решение

Пусть e > 0 – произвольное число. Найдем такое число S (e), что для всех x, таких, что верно неравенство Преобразуем последнее неравенство, получим или

Итак, для любого существует число что для всех х, таких, что будет верно неравенство где Это означает, что

Вычисление пределов значительно упрощается, если использовать ряд утверждений.

Свойства пределов следующие:

1) предел постоянной равен самой постоянной, т. е.

2) если и существуют;

3) если и существуют;

4) если и существуют и

5) постоянный множитель можно выносить за знак предела, т. е.

Теорема. Предел элементарной функции в точке а, принадлежащей ее области определения, равен значению данной функции в рассматриваемой точке, т. е.

Теорема. Если то предел сложной функции

Пример 5. Найти предел

Решение

Воспользовавшись свойствами 1, 2, 5, получим:

Тест 1. Предел равен:

1) 5;

2) 7;

3) 31;

4) 1;

5) 15.

Пример 6. Найти предел

Решение

Так как здесь отыскивается предел частного, то, прежде чем применить соответствующее свойство 4, надо проверить, не обращается ли в нуль знаменатель дроби при х ® 3.

Применив свойства 1, 2, 5, будем иметь:

Следовательно,

Тест 2. Предел равен:

1) 5;

2) 4;

3) 31;

4) 1;

5) 15.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Функция f (x) называется бесконечно малой при х ® а, если .

Функция f (x) называется бесконечно большой при х ® а, если

Аналогично формулируются определения при х ® ¥.

Заметим, что если функция a(х) является бесконечно малой (бесконечно большой) при х ® а (х ® ¥), то – бесконечно большая (бесконечно малая) при х ® а (х ® ¥).

Пример 7. Функция при х ® 0 является бесконечно малой, так как

Пример 8. Функция при х ® 0 – бесконечно большая, поскольку

Неопределенности. Если вычисление пределов приводит к неопределенным выражениям вида , необходимо провести дополнительные исследования, т. е. раскрывать неопределенности.

Раскрыть неопределенность – значит найти предел соответствующего выражения, если он существует.

Методика раскрытия неопределенностей изложена ниже.

· Первый замечательный предел. Если угол u выражен в радианах, то

Многие задачи нахождения пределов приводят к использованию первого замечательного предела.

Первый замечательный предел можно применять в ряде случаев для раскрытия неопределенностей вида

Пример 9. Найти предел

Решение

Предел знаменателя равен нулю, нулю равен и предел числителя.

Для нахождения данного предела умножим числитель и знаменатель на 5 с целью получения отношения синуса к его аргументу:

Тест 3. Предел равен:

1)

2)

3) 7;

4) 5;

5)

Пример 10. Найти предел

Решение

Имеем неопределенность

Следовательно, предварительно преобразуем данное выражение

Пример 11. Найти предел

Решение

Имеем неопределенность

Следовательно, предварительно преобразуем данное выражение

= 1 × 1 = 1.

Замечание. Можно доказать, что

Тест 4. Предел равен:

1)

2)

3) 3;

4) 5;

5) 1.

· Второй замечательный предел.

где – иррациональное число, называемое числом Л. Эйлера.

Оно играет большую роль в математике так же, как и число
p(е = 2, 718 281 828 459 045 235 3 ¼).

Логарифмы с основанием называются натуральными и обозначаются

С помощью второго замечательного предела раскрывают неопределенность вида .

Пример 12. Найти предел

Решение

Выполним некоторые преобразования

Пример 13. Найти предел

Решение

=

=

Тест 5. Предел равен:

1) ¥;

2) е ³;

3) е;

4) е ²;

5) 1.

Основные приемы раскрытия неопределенностей приведены ниже.

1. Раскрытие неопределенности вида Неопределенное выражение вида получаем при нахождении если f (x) является дробью.

Способы раскрытия неопределенности зависят от вида f (x).

· Пусть f (x) – рациональная дробь.

В этом случае числитель и знаменатель дроби разлагают на множители.

Пример 14. Найти предел

Решение

Пример 15. Найти предел

Решение

Имеем неопределенность Разложим числитель и знаменатель на множители, воспользовавшись формулой

где и – корни уравнения

Тогда,

Следовательно,

Тест 6. Предел равен:

1)

2)

3)

4) 15;

5) 2.

· Пусть f (x) – дробь, содержащая иррациональные выражения.

В этом случае умножаем числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное к числителю или знаменателю, а иногда и к тому и другому (избавляемся от иррациональности), с целью применения формул сокращенного умножения:

(множители слева – сопряженные выражения).

Пример 16. Найти предел

Решение

.

· Пусть f (x) – дробь, содержащая тригонометрические функции.

Для раскрытия неопределенности в этом случае используют первый замечательный предел.

Пример 17. Найти предел

Решение

2. Раскрытие неопределенности вида Пусть следует найти предел , где и – многочлены n- й и m -й степени соответственно.

В этом случае необходимо руководствоваться следующим:

Пусть

где a_i и b_i – некоторые постоянные.

Тогда

Таким образом, для раскрытия неопределенности целесообразно числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень x из числа слагаемых одночленов числителя и знаменателя, а затем перейти к пределу.

Пример 18. Найти предел

Решение

Разделим числитель и знаменатель на х ², получим:

Однако, так как степень многочлена числителя равна степени многочлена знаменателя (m = 2), то можно было записать, что

Пример 19. Найти предел

Решение

Степень многочлена числителя (n = 7) больше степени многочлена знаменателя (m = 3), следовательно,

Тест 7. Предел равен:

1) ¥;

2) –5;

3) 3;

4) –¥;

5) 2.

Тест 8. Предел равен:

1)

2)

3) 0;

4) 5;

5) –4.

3. Раскрытие неопределенности вида Неопределенное выражение вида сводится к неопределенности вида или

Методику раскрытия этой неопределенности покажем на примере.

Пример 20. Найти предел

Решение

Имеем неопределенность Преобразовав данное выражение, получим неопределенность вида

4. Раскрытие неопределенности вида Неопределенное вы-
ражение вида раскрывается путем преобразования соответствующих выражений и сведения их к неопределенности вида или

Пример 21. Найти предел

Решение

Выполним преобразование и получим неопределенность вида

5. Раскрытие неопределенности вида Неопределенное выражение вида получаем при вычислении пределов

если а

В этом случае для раскрытия неопределенности применяют второй замечательный предел.

Пример 22. Найти предел

Решение

Ответы на тестовые задания