Методические указания к решению задачи. При расчете на изгиб, кручение и другие виды более сложного нагружения для оценки прочности и жесткости бруса недостаточно знать только площадь его

При расчете на изгиб, кручение и другие виды более сложного нагружения для оценки прочности и жесткости бруса недостаточно знать только площадь его поперечного сечения, требуется определять другие геометрические характеристики сечения: статический момент площади, осевые, центробежный и полярный моменты инерции.

Рассмотрим произвольную плоскую фигуру площадью A, отнесенную к системе координат zoy (Рисунок 3.1).

Обозначим: dA - площадь элементарной площадки; y, z - расстояние ее центра тяжести до осей координат.

Выражения вида

называются статическими моментами площади относительно осей y и z соответственно.

Зная величины статических моментов площади фигуры, можно вычислить координаты ее центра тяжести. Если заданное сечение можно разбить на части, для которых известны положения их центров тяжести и величины площадей, координаты центра тяжести всей фигуры определяются по формулам

Центр тяжести лежит на оси симметрии сечения, а если таких осей несколько - в точке их пересечения.

Моментами инерции (осевыми моментами инерции) относительно осей y и z соответственно называются интегралы вида

Для простейших фигур и прокатных профилей величины моментов инерции приводятся в учебной и справочной литературе.

Выражение называется центробежным моментом инерции.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями. Если хотя бы одна из выбранных координатных осей является осью симметрии, то обе эти оси будут главными. Осевые моменты инерции относительно главных центральных осей называются главными центральными моментами инерции. Они являются экстремальными по величине: один из них максимален, другой минимален.

Осевой момент инерции составного сечения вычисляется как сумма осевых моментов инерции отдельных составляющих фигур относительно одной и той же оси. При этом в таблицах сортамента прокатных профилей моменты инерции простых элементов опре­делены относительно их собственных центральных осей, которые показываются на чертежах. Центральные оси составной фигуры обычно не совпадают с табличными. Тогда для вычисления моментов инерции подобных фигур приходится использовать зависимость между моментами инерции относительно парал­лельных осей:

где - моменты инерции сечения относительно произвольных осей; - моменты инерции сечения относительно центральных осей; A - площадь фигуры; a и в - расстояние между осями y, y₀ и z, z₀ соответственно.