Частотно ограниченного канала

Передача информации тесно связана с использованием физических сигналов. Свойства сигналов определяют канал связи. Известно, сигнал может быть представлен во времени и через спектральное разложение. Рассмотрим влияние ограничения на сигнал во временной и частотной областях и влиянии этих ограничений на пропускную способность канала связи.

1) Положим, сигнал определён в интервале и задана полоса частот , занимаемая сигналом . Тогда, согласно теореме Котельникова, сигнал может быть разложен по функциям типа со значениями коэффициентов разложения, равными значениям сигнала в точках отсчета,

, (4.26)

где , .

Ограничим время наблюдения интервалом (0, ). Тогда число отсчетов на интервале наблюдения равно

(4.27)

и в разложении сигнала число отсчётов ограничено:

. (4.28)

Если стоит вопрос о точном восстановлении сигнала по его отсчетам, то это невозможно, так как часть отсчётов будет утеряна.

Получили ряд (**.3), ограниченный по частоте и во времени

Мощность n -ой составляющей равна .

2) Положим задано время наблюдения сигнала . Из теории рядов Фурье известно, что можно построить периодическое продолжение функции с периодом . Разложим сигнал в ряд Фурье

, (4.29)

где .

Коэффициенты разложения вычисляются по формуле

Чтобы ряд (4.29) сходился, необходимо выполнения условия – последовательность должна быть убывающей и .

Выберем достаточно большое число m, чтобы можно было пренебречь величиной . Тогда , или .

Разложение сигнала ограничено числом отсчетов

(4.30)

Получили ряд, ограниченный по частоте и по времени.

Мощность k-ой составляющей равна . Мощность сигнала равна мощности составляющих

3) Так как шум, присутствующий в канале, также ограничен по частоте и во времени определим числовые характеристики шума. Считается, что число отсчётов уже известно, т. е. определены и .

Примем , шум – «белый», т.е. .

Разложение шума по гармоническим составляющим

, (4.31)

коэффициенты разложения равны

.

Согласно определению случайного процесса математическое ожидание и дисперсия коэффициентов разложения будут равны

,

. (4.31)

Мощность шума в канале связи равна

. (4.32)

4) Теорема Шеннона для частотно ограниченного канала.

Если мощность сигнала на входе канала не превосходит величины , то пропускная способность частотно ограниченного канала с аддитивным белым гауссовым шумом удовлетворяет неравенству

. (4.33)