Лекальные кривые

Овал

Овал – плоская, выпуклая, плавная кривая, состоящая из взаимно сопрягающихся дуг окружностей различных радиусов.

Выпуклый, имеющий две оси симметрии четырехцентровый овал определяют три параметра. Исходя из условий, конструктор задает длину и ширину овала и один из радиусов или оба радиуса и ширину или длину. Иногда задают только ширину и длину овала, определяя тем или иным способом радиусы сопрягающихся дуг окружностей (рис.9). Такая задача имеет бесчисленное множество решений. Ниже приведены два способа построения овала по длине и ширине (осям).

Построение овала при отношении осей АВ = CD 3 (рис.10а).

• Из центра О пересечения осей овала радиусом ОА провести дугу до пересечения с продолжением малой оси CD и отметить точки О3, О4.

• Аналогично радиусом ОС описать дугу до пересечения с большой осью в точках О1, О2.

• Провести лучи через полученные центры О1, … О4.

• Провести дуги сопряжения радиусами R = О3C, r = О1 A до пересечения с лучами в точках 1, 2, 3, 4.

Построение овала по двум осям (рис.10б)

Для нахождения центров необходимо О1О3:

• Отложить на малой оси отрезок ОО4 = ОА

• Провести прямую АС и отложить на ней от точки С отрезок СЕ =СО4.

• Восстановить срединный перпендикуляр к отрезку АЕ.

• На пересечении перпендикуляра с заданными осями овала отметить положение центров О1О3.

• Из центров О1О3 провести дуги радиусами R и r до пересечения с лучами О1О3 и О2О3, О1О4 и О2О4 в точках 1, 2, 3, 4

Очертание любого циркульного овала не совпадает с очертанием эллипса, но в той или иной степени приближается к нему.

Рис.10

7.2 Эвольвенты (развертки) окружности (рис.11а)

Исходную окружность делим на произвольное число равных частей, например 12. В точках деления проводим полукасательные к окружности и на последней полукасательной откладываем отрезок, равный длине окружности (2ПR), и делим отрезок на 12 частей. На 11-й полукасательной откладываем 11 частей отрезка, на 10-й-10 и т.д.

Через полученные точки с помощью лекала проводим плавную кривую.

Чтобы построить касательную к эвольвенте в заданной точке М, через эту точку проводят касательную к исходной окружности, которая будет являться нормалью в точке М.

7.3 Спирали Архимеда (рис.11б)

Спираль Архимеда – траектория движения точки, равномерно движущейся от центра окружности по радиусу, вращающемуся с равномерной скоростью.

Для построения спирали Архимеда исходную окружность и ее радиус делим на одинаковое число частей (на рис.6 n=8). Через точки деления на окружности проводим из центра О лучи, последовательно откладывая на каждом из них соответствующее число делений радиуса: на первом ОА=1/8R, на втором ОВ=2/8R и т.д. Полученный ряд точек А, В, С… соединяем плавной

кривой.

Рис.11

7.4 Циклоиды (рис.11, а)

Циклоидой называют траекторию движения точки окружности, перекатываемой по прямой без проскальзывания.

Для построения циклоиды необходимо от начальной точки А провести отрезок АА1= 2ПR, где R – радиус заданной окружности. Разделить отрезок АА1 и окружность на одинаковое число частей (n = 8). Через точки деления окружности 1, 2, 3, … провести прямые, параллельные отрезку АА1, а через точки деления от- Рис.11

резка АА1 – перпендикуляры, которые при пересечении с осевой линией, продолженной из центра начальной окружности, определят ряд последовательно расположенных центров О1, О2, …перекатываемой окружности. Описывая из этих центров дуги радиусом R, последовательно отметим точки их пересечения с соответствующими прямыми, параллельными АА1, как точки, принадлежащие циклоиде.

Для построения касательной в произвольной точке М циклоиды определяем положение перекатываемой окружности, когда она проходит через эту точку. Отмечаем положение центра Ом и проводим через него диаметр NN1. Отрезок МN определит нормаль, МN1- касательную (рис.11б).

Точка окружности, перекатывающейся по внешней стороне направляющей окружности, опишет эпициклоиду, по внутренней стороне – гипоциклоиду. Способы их построения такие же, как и для циклоиды, только длину перекатываемой окружности откладывают по направляющей окружности.

Построение синусоиды по заданному диаметру начальной окружности.

Выбрать начало координат для построения синусоиды, совпадающим с точкой А на окружности, заданного радиуса R и на продолжении оси ОА отложить отрезок АА1= 2ПR. Разделить окружность и отрезок АА1 на одинаковое число частей и пронумеровать точки деления. Через точки деления провести ряд прямых, параллельных АА1; из точек деления прямой АА1 восстановить перпендикуляры. На пересечении этих вспомогательных прямых, имеющих одноименные номера, отметить точки синусоиды.

7.5 Построение эллипса по двум его осям (рис.12)

На заданных осях эллипса – большой АВ и малой СD – построить как на диаметрах две концентрических окружности. Одну из окружностей разделить на несколько частей и через точки деления и центр О провести радиусы до пересечения с большой окружностью.

Через точки 1, 2, … деления большой окружности провести прямые, параллельные малой оси СD, а через точки 11, 21, … деления малой окружности - прямые, параллельные большой оси эллипса АВ. Точки пересечения соответствующих прямых принадлежат эллипсу. Полученные точки, включая точки на большой и малой осях, последовательно соединить при помощи лекала плавной кривой

Рис.12

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1 Что называют сопряжением?

2 Как построить сопряжение дугой окружности двух прямых?

3 Как построить сопряжение окружности и прямой при помощи дуги окруж-

ности?

4 Как построить внешнее, внутреннее, смешанное сопряжения двух окружно-

стей при помощи дуги окружности?

5 Как построить касательную к окружности в заданной точке?

6 Как построить касательную к двум окружностям?

7 Какие кривые называют циркульными? Как построить обвод при помощи

дуг окружностей?

8 Какие кривые называют лекальными?

9 Какая кривая называется эллипсом? Как построить эллипс по двум осям, касательную к эллипсу в заданной точке?

10 Какая кривая называется параболой? Как построить параболу по вершине и точке? Как построить касательную к параболе в заданной точке?

11 Как построить гиперболу по ее вершине и точке?.

12 Какая кривая называется циклоидой? Как построить циклоиду и касатель-

ную к ней в заданной точке?

13 Какая кривая называется синусоидой?

14 Какая кривая называется эвольвентой? Как построить эвольвенту и каса-

тельную к ней в заданной точке?

15 Какая кривая называется спиралью Архимеда? Как построить спираль Архимеда?

Приложение. Варианты заданий

Варианты заданий для построения лекальных кривых.

1. Построить спираль Архимеда, если задан её шаг а