Стокс формуласы

Сонда (8) ө рнекке

-дегеніміз былай жазылады:

(9)

Ө рнектен біз қ арастырып отырғ ан ө ріс қ ұ йынды емес.

4.2. Механикалық жү йенің толық потенциалдық энергиясы

Механикалық жү йе кө птеген n бө лшектен тұ рсын бұ л бө лшектер бір-бірімен ә серлескен. Кернеуді сипаттайтын энергия потенциалдық энергия деп аталады. Жү йенің ішіндегі бө лшектердің бір-бірімен ә серлесу энергиясы Ішкі потенциалдық энергия деп аталады. Оны былай белгілейді: ^(і) Осы механикалық жү йе сыртқ ы кү ш қ оршағ ан ортамен де ә серге тү сетін болсын. Жү йенің сыртқ ы кү ш ө рісімен ә серлесуін сипаттайтын энергия сыртқ ы потенциалдық энергия деп аталады. Оны былай белгілейді: ^(с) олай болса толық потенциалдық энергия

^(с) + ^{(і) (1)}

^{Сырткы потенциалдық энергия жү йеге ететін ә рбір бө лшектің сыртқ ы потенциалдық энергиясының қ осындысынан тұ рады, яғ ни}

⁽²⁾

^{Ішкі потенциалдық энергия ө зара ә серлесү ші бө лшектердің энергиясы болғ андық тан}

⁽³⁾

^{Сонымен механикалық жү йенің толық потенциалдық энергиясы}

⁽⁴⁾

потенциалдық энергияның теоремасы

4.3. Еркін механикалық жү йенің тү рлері.

Еркін механикалық жү йе 4 класқ а бө лінеді.

1).Тұ йық талғ ан (оқ шауланғ ан) жү йе-механикалық жү йе қ оршағ ан ортамен ешқ андай механикалық ә серге тү спейді, яғ ни

Бұ л жағ дайда механикалық жү йенің толық потенциалдық энергиясы ішкі потенциалдық энергияғ а тең болады.

(5)

2).Сыртқ ы потенциалдық кү ш ө рісіндегі, стоционар механикалық жү йе.Бұ л жағ дайда механикалық жү йенің толық потенциалды энергиясы.

ө рнекпен анық талады.

3). Сыртқ ы стационар емес кү штің потенциалдық ө рісіндегі жү йе.Бұ л жағ дайда толық потенциалдық энергия (4) ө рнекпен анық талады.

4).Еркін механикалық жү йе-сыртқ ы, қ ұ йынды ө рістегі ү йкеліс кү ш ә серіндегі т.б.Бұ л жағ дайда механикалық жү йенің толық потенциалдық энергиясы

(5)

4.4. Механикалық энергияның сақ талу заң ы жә не айналу заң ы.

Кең істікпен уақ ыттың қ асиеттеріне байланысты классикалық механикада сақ талу заң дары орындалады.Сондай заң дардың бірі уақ ыттың біртектілік қ асиетінен туындайтын механикалық энергияның сақ талу заң ы.

Механикалық энергияның сақ талу заң ы былайша тұ жырымдалады: тұ йық талғ ан жә не тек қ ана стационар потенциалды кү ш ө рісіндегі механикалық жү йеде толық механикалық жү йе ө згермейді, тұ рақ ты болып қ алады яғ ни бұ л жағ дайда жү йенің толық потенциалды энергиясы ө рнегімен анық талады.

Тұ йық талғ ан жү йенің толық потенциалды энергиясынан уақ ыт бойынша толық туынды алайық.

(1)

Ньютонның 2 заң ына сә йкес.

осыларды ескеріп

(2)

(2) ө рнектің сол жағ ына скаляр тү рде кө бейтейік сонда.

(3)

Олай болса (2) ө рнекті былайша жазуғ а болады.

яғ ни

(4)

Сонымен (4) ө рнекті (1) ө рнекке қ ойсақ

(5)

яғ ни (1) ө рнектің (5) ө рнектің оң жақ тарын тең естірейік.

(6)

Тек тұ рақ ты шаманың туындысы 0-ге тең болатындық тан

(7)

(7) ө рнектің сол жағ ындағ ы 2 қ ұ раушысы механикалық жү йенің кинетикалық энергия деп аталады.

Оны классикалық механикада Т-деп белгілейді. -толық кинетикалық энергия.

Механикалық жү йенің толық потенциалдық жә не толық энергиясының қ осындысы толық механикалық энергия деп аталады.

(8)

Сонымен -толық механикалық энергияның сақ талу заң ы.

Толық механикалық энергиясы сақ талатын жү йе консервативті деп аталады. Механикалық жү йеде ол тұ йық талғ ан ә рі консервативті болғ ан жағ дайда кинетикалық жә не потенциалды энергиялары ө згеріп отыруы мү мкін.Бірақ олардың қ осындысы ә рқ ашан тұ рақ ты болуы шарт.

Механикалық жү йенің толық кинетикалық энергиясы қ аншағ а ө згерсе, потенциалды энергиясы кері бағ ытта соншағ а ө згереді.Бұ л механикалық энергияның айналу заң ы деп аталады.

Механикалық жү йедегі энергия ө згеріс процесін толық ашу ү шін кинетикалық энергияның жә не потенциалды энергияның ө згеру теоремаларын қ арастырайық.

Ол ү шін кинетикалық энергияның ө рнегінен уақ ыт бойынша толық дифференциал алайық.

(9)

(10)

(9) ө рнекпен (10) ө рнекті тең естірейік.

Ол ү шін (10) тең деуді кө бейтейік

Олай болса

(11)

(11) ө рнектің оң жағ ындағ ы қ ұ раушылар атқ арылатын толық механикалық жұ мысты береді.

(12)-кинетикалық энергияның ө згерісі туралы теорема.

Потенциалды энергия ө згерісі туралы теореманы қ арастырайық.

(13)

(14)

4.5. Тұ йық жү йедегі импульстың сақ талу заң ы

Кең істіктің біртектілік қ асиеттігімен. Туралы сақ талу заң ы импульстің сақ талу заң ы деп аталады. Тұ йық жү йедегі шамасы жү йенің импульсы деп аталады.

Кең істіктің біртектілігінен тұ йық талғ ан жү йенің потенциалдық энергиясы оны қ ұ райтын бө лшектердің ара-қ ашық тығ ына ғ ана тә уелді болады жә не параллель кө шіру кезінде ө згеріссіз қ алады.

Яғ ни механикалық жү йе аз ғ ана қ ашық тық қ а Е шамағ а кө шірілгенде

Е (1)

Шарты орныдалды. Олай болса, тұ йық талғ ан жү йенің потенциалдық энергиясы жү йені шексіз аз Е қ ашық тық қ а параллель кө шіргенде ∆ шамағ а ө згерсін дейік, яғ ни

∆

(2)

Кең істіктің біртектілік қ асиетіне сә йкес параллель кө шіру кезінде (Е=0) аз қ ашық тық. Жү йенің потенциалдық энергиясы ө згермейді. Олай болса ∆ =0, Е≠ 0

Онда

Динамикалық негізгі тең деуіне сә йкес

(3) ө рнектің екі жағ ын да қ осынды тү рінде жазайық.

Сонда тек қ ана тұ рақ ты шамасы туындысы 0-ге тең болатындық тан 0-ге тең

(4) ө рнек Импульстың сақ талу заң ы деп аталады.

4.6. Масса центрі қ озғ алысы туралы теория

Кем дегенде екі бө лшектен тұ ратын механикалық жү йенің еркін қ озғ алысын қ арастырайық. Бұ л жағ дайда жү йенің қ озғ алысын 2 элементке бө луге болады.

1) Жү йенің тұ тас дене ретінде қ озғ алуы

2) Жү йе ішіндегі бө лшектердің бір-бірінен салыстырғ андағ ы қ озғ алысы. Мұ ндай қ озғ алыс заң дарын анық тау ү шін бір мезгілде екі санақ жү йесін қ олдануғ а тура келеді:

1) Бақ ылаушығ а бекітілген яғ ни тыныштық тағ ы к санақ жү йесі

2) К санақ жү йесіне қ атысты қ озғ алыста болатын қ озғ алысы зерттелетін денеге бекітілген к^/ санақ жү йесі

(1)

(2)

(3)

к^/ санақ жү йесінің басын еркімізше таң дап алуғ а болатындық тан, оны жү йенің шартты тү рде центрі болып табылатын нү ктеге бекітетін. Ол нү кте біз қ арастырып отырғ ан нү ктеге сә йкес келетін болса,

Сонда (3) тең деуден

(4) ө рнектен Кениг теоремасы шығ ады:

Ол былай тұ жырымдалады. Механикалық жү йенің масса центрі қ арай қ озғ алса оның басқ а бө ліктері де солай қ озғ алады. Яғ ни мына центрінің қ озғ алыс заң ы механикалық жү йенің қ озғ алыс заң ы болып табылады.

(4) ө рнектен

№5 лекция. Аналитикалық механика

5.1 Жалпылама координаталар мен жалпылама жылдамдық тар

5.2 Ең аз ә сер приницпі мен Лагранж тең деуін қ орытып алу

5.3 Еркін тербеліс ү шін Лагранж функциясы

5.4 Бө лшектер ү шін Лагранж функциясы

5.1 Жалпылама координаталар мен жалпылама жылдамдық тар

Механикадағ ы негізгі ұ ғ ымдардың бірі материалдық нү кте. Материалдық нү кте қ озғ алысын сипаттау кезінде матералдық нү кте ретінде қ арастырылатын дененің ө лшемі ескерілмейді. Материалдық нү кте кең істіктегі орнын R радиус арқ ылы анық тайды. Бұ л радиус векторының ө зі декарттық координатта x, y, z координатасы анық тайды.

(1)

Радиус вектордан алынатын бірінші ретті матералдық нү кте жылдамдығ ы болып табылады.

(2)

N материалдық нү ктеден тұ ратын жү йенің кең істіктегі орнын анық тау ү шін, N радиус векторы қ ажет. Сә йкесінше 3N координата кө мегімен анық талады.

Жү йенің кең істіктегі орнын анық тауғ а қ ажет болатын бір – бірінен тә уелсіз шамалардың саны еркіндік дә режесі деп аталады. Біздің жағ дайда ол 3N – ғ а тең. Бұ л шамалар міндетті тү рде декарттық координатта анық талуы шарт емес. Сондық тан есептің шартына сә йкес ың ғ айлы басқ а да координаталар қ олданылуы мү мкін (сфералық, циллиндрлік, полярлық т.б).

Барлық координаталарғ а ортақ, жү йенің кү йін сипаттай алатын, шамалар енгізу қ ажет болады. Осындай шамаларды жалпылама шамалар деп атайды, яғ ни жалпылама жылдамдық тар.

Жалпылама координаталар деп – еркіндік дә режесі S болатын жү йенің орнын толық сипаттауғ а мү мкіндік беретін шамаларын айтамыз.

Жалпылама координатадан алынғ ан бірінші ретті туынды жалпылама жылдамдық тар деп аталады. .

Бір мезгілде координаталар мен жылдамдық тар берілген жағ дайда жү йенің кү йін толық сипаттауғ а болады жә не алдағ ы кез келген уақ ыт мезетіндей кү йін де анық тауғ а болады. Координаталар мен жылдамдық ты ү деу мен байланыстыратын қ атынас қ озғ алыс тең деуі деп аталады.

Қ озғ алыс тең деуі q(t) екніші ретті диферециялды болып табылады. Бұ л тең деуді интергалдау арқ ылы шешіп, механикалық жү йенің қ озғ алыс траекториясын анық тау болады.

5.2 Ең аз ә сер принципі Лагранж тең дігін қ орытып алу.

Механикалық жү йенің қ озғ алыс заң ының жалпы тұ жырымын ең аз ә сер принципі деп аталатын (Гамильтон) ережемен тағ айындалады. Ол былай айтылады: механикалық жү йенің бір кү йден екінші кү йге кө шкенде ә сер мү мкіндігінше минимум болатын траекторияны таң дайды. Бұ л принципке сә йкес ә рбір механикалық жү йенің Лагранж функциясы деп аталатын (L) жалпылама координата, жалпылама жылдамдық жә не уақ ытқ а тә уелді функциямен сипатталады.

Лагранж функ\циясының мағ ынасы жү йенің кинетикалық энергиясы мен потенциялдық энергиясының айырмасы болып табылады.

Айталық, механикалық жү йе жә не уақ ыт мезеттерінде белгілі бір кең істікте орынғ а ие болсын жә не оның кү йі координатамен сипатталсын. Осы екі жағ дайғ а сә йкес жү йенің жү ріп ө тетін траекториясы ең аз ә сер принципіне сә йкес:

(1) S - ә сер

Гамильтон принципіне сә йкес ә сер минимум болуы шарт

- тү зу траекторияның ауытқ уы

Суретте бірінші уақ ыт мезетіндегі

Осыны ескеріп, (1) ө рнекті интергралдасақ:

(2)

(2) интеграл ә сер деп аталадыб ал интеграл таң басының астындағ ы функциясы Лагранж функциясы болып табылады.

- варияция деп аталады.

(2) тең деуді бө лшекиеп интегралдасақ жә не ең аз ә сер принципі бойынша ә сердің ө згерісін 0 – ге тең деп алсақ:

(3)

(3) ө рнек 0 – ге тең болуы ү шін тең діктің оң жағ ындағ ы интеграл астындағ ы ө рнек 0 – ге тең болуы шарт, олай болса:

(-1 – ге кө бейтсек)

(4)

(4) тең деу Лагранж тең деуі деп аталады.

Егер еркіндік дә режесі бірінші болғ ан жағ дайда (4) ө рнек былайша жазылады:

i=1.2.3…S

Лагранж фунциясының қ асиеттеріне тоқ талайық:

1. Егер механикалық жү йенің Лагранж жү йесі белгілі болса, онда Лагранж тең деуі жү йе қ озғ алысының тең деуі болып табылады жә не жү йенің ү деуі, жылдамдығ ы, координатасы аралығ ы байланысыт тағ айындайды.
2. Лагранж функциясы ү шін адеттивтік қ асиет орындалады, яғ ни механикалық жү йе А жә не В бө ліктерден тұ ратын болса, сә йкесінше ол бө ліктердің Лагранж фукциясы болса, онда бү кіл механикалық жү енің Лагранж функциясынан алынғ ан шек:

1. Лагранж функциясына кез келген тұ рақ ты санды кө бейткенде Лагранж функциясының мә ні ө згермейді.
2. Уақ ыт бойынша толық дифференция болатын функцияны Лагранж функциясын тастап немесе қ осып жазуғ а болады. Одан Лагранж функциясының мә ні ө згермейді.

5.3 Еркін тербеліс ү шін Лагранж функциясы

Кең істіктің біртектілік қ асиетін жә не уақ ыттың біртектілігінен еркін бө лшектің Лагранж функциясы координатағ а да, уақ ыты да тікелей тә уелді болмайды.

Олай болса, Лагранж функциясы жылдамдық вектроына тә уелді болуы қ ажет. Бірақ, Лагранж функциясы кең істіктің изотроптылық қ асиетіне сә йкес, жылдамдық тың бағ ытына да тә уелді болмауы шарт. Олай болса, еркін бө лшектің Лагранж функциясы тек жылдамдық тың квадратына () ғ ана тә уелді болады деп қ арастыруымыз шарт.

(1)

(1) функцияның мағ ынасын Галелейдің салыстырмалық принципі негізінде анық тауғ а болады.

(*) жылдамдық тарды қ осу заң ы Галейлей принципі

Яғ ни, (2)

(3)

(3*)

(3*) тең деудің оң екінші қ ұ раушы уақ ыттың толық дифференциялы болып табылатындығ ын Логранж функциясының қ асиетіне сә йкес оны қ алдырып жазғ а болады.

Яғ ни; (4)

Мұ нда

сонда (5)

Егер жү йе ө зара ә серлеспейтін n- бө лшектен тұ ратын болса ондай бө лшектік Лагранж функциясын

(6)

Сонымен еркін бө лшектің Логранж функциясы оның кинетикалақ энергиясы болып табылады.

5.4 Ө зара ә серлесетін, бірақ тұ йық талғ ан жү йедегі n- бө лшектен тұ ратын жү йе ү шін Лоранж функциясын жазайық.

Мұ ндай жү йедегі Логранж функциясы жү йенің кинетикалық энергиясы мен потенциялдық энергиясының айырмасымен анық талады.

Сонымен ө зара ә серлететін n-бө лшектен тұ ратын механикалық жү йенің кү йін сипаттайтын Логранж функциясы жү йенің кинетикалық энергиясы мен потенциялдық энергиясының айырмасына тең.

Осы айтылғ аны пайдаланып осы жү йе ү шін Логранж тең деуін жазайық

Бір ө лшемді қ озғ алыс деп Декарттық координатаны жазсақ:

(1)

Осы екеуін (1) тең деуге қ ойсақ

Ньютонның ІІ-заң ы

Лекция №6. Қ озғ алыс интегралдары

6.1. Бір ө лшемді қ озғ алыс.

6.2. Екі дене есебі.Келтірілген масса.

6.3. Орталық ө рістегі қ озғ алыс ерекшеліктері.

6.4. Кеплер есебі.Кеплердің заң дары.

6.1. Бір ө лшемді қ озғ алыс.

Еркіндік дә режесі бірге тең болатын қ озғ алыс бір ө лшемді қ озғ алыс деп аталады.

Мұ ндай қ озғ алыстың Декарттық координатадағ ы Логранж функциясы

(1)

Жү йенің кинетикалық энергиясымен потенциалдық энергиясының қ осындысы толық механикалық энергия деп аталады.

(2)

интегралдасақ

(3)

(3) ө рнек бір ө лшемді қ озғ алыстың қ озғ алыс тең деуі деп аталады.

Бір ө лшемді қ озғ алыстың ерекшеліктеріне тоқ талайық.

1) бұ л аралық та суреттен кө рініп тұ рғ андай потенциалды энергия толық энергиядан артық.

(4)

Бұ л жағ дай кинетикалық энергия ешуақ ытта теріс болмайтындық тан 1-ші облыста қ озғ алыс болуы мү мкін емес.

2) бұ л нү ктеде онда бұ л нү ктеде жү йе тыныштық та тұ р.

3)

онда

яғ ни механикалық жү йе бір ө лшемді қ озғ алыс жасайды.

4) бұ л нү ктеде онда кинетикалық энергия 0-ге тең жү йе тыныштық та тұ р.

нү ктелерде қ озғ алыс 2 жағ ынан шектелген.Мұ ндай қ озғ алыс финитті қ озғ алыс деп аталады.Оғ ан мысал:

Гармоникалық тербеліс, потенциалды шұ ң қ ыр шариктің қ озғ алысы.Мұ ндай қ озғ алыс периодты тү рде қ айталанады.Оның периоды.

5) бұ л аралық та қ озғ алыс болуы мү мкін емес, себебі

6), 7) бұ л аралық та яғ ни ү лкен нольден қ озғ алыс бар.Бұ л аралық та қ озғ алыс бір жағ ынан шектелген.Мұ ндай қ озғ алысты инфинитті қ озғ алыс деп атайды.Мұ ндай қ озғ алысқ а шексіздікке қ озғ алып бара жатқ ан бө лшектің қ озғ алысын айтуғ а болады.

6.2. Екі дене есебі.Келтірілген масса.

Жү йенің қ озғ алысын қ арастырғ анда ө зара ә серлесуші екі дененің есебін шешуге тура келеді.

Ө зара ә серлесуші екі денеден тұ ратын жү йенің потенциалдық энергиясы олардың ө зара арақ ашық тығ ына, яғ ни олардың орнын анық тайтын радиус-векторының айырмасының абсолют шамасына тә уелді болады.

(1)

Олай болса бұ л жү йенің Логранж функциясы

(2)

(3)

(4)-масса центрінің ө рнегі.

Жү йенің масса центрін координатаның басына сә йкес келетіндей етіп орналастырайық, яғ ни .

(3) ө рнектің екі жағ ында кө бейтіп ө рнектен алып тастайық

(3)

(5)

(3) ө рнектің екі жағ ында кө бейтіп ө рнектен алып тастайық.

(3)

(6)

(5) пен (6) ө рнектерді (2) тең деуге қ оямыз

(7)

ө рнектегі келтірілген масса деп атайды.

Сонда екі дене есебі ү шін Логранж функциясы былайша жазылады.

(8)

Соң ғ ы ө рнектен кө рініп тұ рғ андай екі дене есебін шешу ү шін оны бір денеге келтіріп аламыз.

6.3. Орталық ө рістегі қ озғ алыс ерекшеліктері.

6.4. Кеплер есебі.Кеплердің заң дары.

+const

(10)

ө рнекті (10) ө рнекке қ ойып оны интегралдасақ орталық ө рісте қ озғ алғ ан бө лшектің траекториясының тең деуі шығ ады.

(11)

(11) тең деуде бө лшектің траектория тең деуі.

(12)

Мұ ндағ ы

энергияны центрден тепкіш потенциалдық энергия деп атайды.

Орталық ө рістегі бө лшектің қ озғ алыс кезіндегі бө лшек ө рістің центріне белгілі бір қ ашық тық қ а дейін жақ ындай алады жә не белгілі бір қ ашық тық тан алыстай алмайды.

Егер орталық ө ріс тартылыс ө рісі болса (гравитациялық ө ріс) потенциалдық энергияның радиус-векторғ а тә уелділігі мына ө рнекпен сипатталады.

(13)

(14)

Суреттен кө рініп тұ рғ андай

онда шарт шекаралық шарт деп аталады

онда

(15)

(16)

(16) ө рнекті ө рнекке қ ойып, сө йтіп интегралдағ анда

(17)

ді табу ү шін const=0 деп жә не деп белгілеулер жү ргізсек (17) мынадай тү рге келеді.

(18)

(18) тең деу жоғ ары математика курсынан белгілі 2-ретті қ исық сызық ты эллипстің тең деуі болып табылады.

Мұ ндағ ы p-эллипстің параметірі, e-орбитаның экстрецинтет деп аталады.

Егер координата басына сә йкес келсе ол эллипске жақ ын жатқ ан нү кте фокус деп аталады.

(18) тең деуден Кеплердің 1-заң ы тұ жырымдалады.Орталық ө рісте қ озғ алғ ан бө лшектің траекториясы эллипс болып табылады, ө рістің центрі эллипстің бір фокусына орналасады.Жалпы физикада Кеплердің 1-заң ы былайша айтылады

Ә рбір планета кү нді эллипс траекториямен айналады.Эллипстің бір фокусына кү н орналасады.

Кеплердің III заң ын қ арастырайық:

(6) ө рнектен

О мен Т аралық бойынша (19) ө рнекті интегралдасақ,

(20)

Мұ ндағ ы f-орбитаның ауданы

(21)

а-элипстің ү лкен жарты осьі

в-элипстің кіші жарты осьі

(20) ө рнекке тү рлендірулер енгізсек

a= (22)

(**)

(23)

(24)

(24) тендеу Кеплердің III заң ы болып табылады.

Ол былайша тұ жырымдалады:

Орталық ө рісте айнала қ озғ алғ ан бө лшектің периодтарының квадраты оның ү лкен жарты осьінің кубына тура пропорционал.

Жалпы физикада бұ л заң былайша айтылады.

Планеталардын кү нді айналу периодтарының квадраттарының қ атынасы олардың ү лкен жаоты осьінің кубтарының қ атынасындай болады.