Определение площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла второго рода.

Пусть в задана некоторая область, ограниченная замкнутой кривой . При этом будем считать, что область правильная.

30. Определение координат центра тяжести с помощью криволинейного интеграла первого рода.

Центр тяжести плоской кривой L имеет координаты , где l – длина кривой. Центр тяжести плоской фигуры имеет координаты , где S – площадь фигуры Центр тяжести объемного тела имеет координаты где V – объем тела

31. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Формула Грина.

Показывает связь между двойным интегралом по некоторой плоской области D и криволинейным интегралом по границе К этой области.

= ∫ ^a_b (X(x, y) | ^a_b dx = ∫ X(x, y) dx - ∫ ∫ _D δ Х/δ y dxdy = ∫ _(MNQ) X(x, y) dx

∫ ∫ _D δ Yδ x dxdy =∫ _(MNQ) Y(x, y) dy

∫ _K X(x, y) dx + Y(x, y) dy (*) = ∫ ∫ _D (δ Yδ x - δ Х/δ y)dxdy– Формула Грина.

X(x, y), Y(x, y) непрерывны вместе со своими частными производными. (*).Опр-ть при каких условиях инт-л по (MNQ) не зависит от пути интегрирования.

∫ _(MNQ) X(x, y) dx + Y(x, y) dy (*) = ∫ ∫ _(MNQ)Xdx + Ydy или ∫ Xdx + Ydy = 0

Теорема. Пусть во всех (.) € D ф-ий X и Y и их частные производные δ Х/δ y и δ Yδ x непрерывны, тогда для того, чтобы криволинейный инт-л по любому замкнутому контуру € D был = 0, необходимо и достаточно, чтобы во всех (.) € D выполнялось δ Х/δ y = δ Yδ x.

32. Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел Тогда называется бесконечным рядом, а сами числа – членами ряда. . Станем последовательно складывать члены ряда, составляя суммы: , их называют частичными суммами или отрезками ряда. Если частичная сумма ряда, при , имеет предел A, конечный или бесконечный: , то этот предел называют суммой ряда и пишут: . Если ряд имеет конечную сумму, его называют сходящимся, в противном случае ряд расходящийся.

36.Простейшие свойства сходящихся рядов. Если сходится ряд (1) Теорема 1: Получившийся из данного ряда (1) отбрасываем нескольким его членам то сходится и ряд (1) обратно: если сходится данный ряд (1) то то сходится и ряд получ у данного отбрасываемого члена.На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.Док-ва Пусть - сумма n первых членов ряда (1) – сумма К отброшенных членов при этом для достаточно больших n все отбрас члены содержатся в Обознач через + - постоянная величина); = + Теорема2: Если ряд (3)Если ряд (3) сходится и его сема = S то ряд получ С – const сумма всех членов на одно и тоже число. S C C-произвольная постоянная. + +…+ =C* = Теорема3: +…(6) сходится и его сема = Ряд и его сумма равна то данные ряды можно почеленно складывать или вычитать. + )= + (8); - )= - (9)

Сумма ряда (8 и 9)= =()+ ()+…+ () конечное число слагаемых =( + + ) ( + + ) +

= )= =

37.

39. Интегральный признак сходимости Маклорена-Коши Теорема. Пусть члены, ряда u₁+u₂+_...+u_n+...(1) положительны и не возрастают, т. е.. u₁≥ u₂≥ u₃ и пусть f (х) — такая непрерывная невозрастающая функция, что f(1) = u₁ f (2) = u₂... f(n) = u_n (2) Тогда справедливы следующие утверждения: если несобственный интеграл (x)dx сходится то сходится и ряд (1); если указанный интеграл расходится, то расходится и ряд(1).Доказательство: Изобразим члены ряда геометрически, от­кладывая по оси абсцисс'номера 1, 2, 3,...n, n+1... членов ряда, а по оси ординат — соответствующие значения членов ряда u₁ и₂,..и_п, (рис1) Построим на том же чертеже график непрерывной невозра- стающей функции y=f(x) удовлетворяющей условию (2) Рассматривая рис. 1, замечаем, что первый из построенных прямоугольников имее т основание, равное 1, и высоту f(1) = u₁. Следовательно, площадь этого прямоугольника равна u₁. Площадь второго прямоугольника равна u₂ и т. д.; наконец, площадь по­следнего (n-го) из построенных прямоугольников равна и_п. Сумма площадей построенных прямоугольников равна сумме s_n первых п членов ряда. С другой стороны, ступенчатая фигура, образован­ная этими прямоугольниками, заключает область, ограниченную? кривой y = f(x) и.прямыми x= 1, х=п+ 1, у = 0; площадь этой области равна Следовательно S_n> (3)Рассмотрим теперь рис. 2. Здесь первый (слева) из построен­ных прямоугольников имеет высоту и₂ следовательно, его пло­щадь также равна u₂ Площадь второго прямоугольника равна u₃ и т. д. Площадь последнего из построенных пря­моугольников равна u_n+1. Следовательно, сумма площадей всех построенных прямоугольников равна сумме всех чле­нов ряда, начиная от второго до (n+1)-го, т. е. равна — Un. С другой стороны, как легко видеть, ступенчатая фи­гура, образованная этими прямоугольниками, содержится внутри криволинейной фигуры, ограниченной кривой y=f(x) и прямыми х=1, х=п+1 y = 0. Площадь этой криволинейной фигуры равна Следовательно, S_n+1-u₁< откуда S_n+1< +u_1. (4).Рассмотрим теперь оба случая. Предположим, что интеграл (x)dx сходится, т. е. имеет конечное значение. Так как < (x)dx. то в силу неравенства (4) S_n< S_n+1< ₁ т. е. частичная сумма s_n остается ограниченной при всех значе­ниях n. Но при увеличении n она возрастает, так как все члены и_п положительны. Следовательно, s_n при ∞ имеет конечный предел ₂= s, т. е. ряд сходится. Предположим далее, что (x)dx=∞ Это значит, что неограниченно возрастает при возрастании п. Но тогда в силу неравенства (3) s_n также неограниченно возрастает при возрастании л, т. е. ряд расходится.Таким образом, теорема полностью доказана

39. Абсолютная и условная сходимость. Знакопеременный ряд U₁+U₂+…+U_n+…(1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов: |U₁|+|U₂|+…+|U_n|+…(2).Если же знакопеременный ряд (1) сходится, а ряд (2), составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то данный знакопеременный ряд (1) называется условно сходящимся рядом.(Знакопеременным называется ряд, среди членов которого имеются как положительные, так и отрицательные).Т1.Если знакопеременный ряд (1) таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов (2) сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится.Д-во: Пусть S_n и σ _n - суммы n первых членов рядов (1) и (2).Пусть далее S’_n – сумма всех положительных, а S’’_n – сумма абсолютных величин всех отрицательных членов среди первых n членов данного ряда; тогда S_n = S’_n – S’’_n σ _n = S’_n + S’’_n По условию, σ _n имеет предел σ; S’_n и S’’_n - положительные возрастающие величины, меньшие σ. Следовательно, они имеют пределы S’ и S’’. Из соотношения S_n = S’_n – S’’_n следует, что и S_n имеет предел и этот предел равен S’ – S’’, т.е. знакопеременный ряд сходится.Т2.Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов.Т3.Если ряд сходится условно, то какое бы мы ни задали число А, можно так переставить члены этого ряда, чтобы его сумма оказалась в точности равной А. Более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, чтобы ряд, полученный после перестановки, оказался расходящимся.

40.Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. До сих пор мы рассматривали ряды, члены которых положи­тельны. В этом параграфе будем рассматривать ряды, члены ко­торых имеют чередующиеся знаки, т. е. ряды вида u₁-u₂+u₃-u₄+... где u₁, u₂, u₃, u_4...положительны. Теорема Лейбница. Если в знакочередующемся ряде u₁-u₂+u₃-u₄+...(u_n> 0)(1) члены таковы, что u₁> u₂> u₃> u₄(2) и =0(3) то pяд (1) сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена. Доказательство. Рассмотрим сумму n = 2m первых чле­нов ряда (1): S_2m=(u₁-u₂)+ (u₃-u₄)+..+ (u_2m-1-u_2m). Из условия (2) следует, что выражение в каждой скобке поло­жительно. Следовательно, сумма s_2m положительна, и возрастает с возрастанием m. Запишем теперь эту же сумму так: S_2m=u₁-(u₂-u₃)- (u₄-u₅)-..- (u_2m-2-u_2m-1)-u_2m. В силу условия (2) каждая из скобок положительна. Поэтому в результате вычитания этих скобок из и* мы получим число, меньшее u₁ т. е. Таким образом, мы установили, что s_2m при возрастании m воз­растает и ограничена сверху. Отсюда следует, что s_2m имеет предел S: =u₁ причем 0< S< u₁. Однако сходимость ряда еще не'доказана; мы доказали только, что последовательность «четных» частичных сумм имеет пределом число s. Докажем теперь, что «нечетные» частичные суммы также стремятся к пределу s. Рассмотрим для этого сумму n = 2m +1 первых членов ряда (1): S_2m+1=S_2m+u_2m+1. Так как по условию (3) = 0, то, следовательно Тем самым мы доказали, что = s как при четном n, так и при нечетном n. Следовательно, ряд (1) сходится, Замечание 1. Теорема Лейбница справедлива, если нера­венства (2) выполняются, начиная с некоторого N.

41. Непрерывность суммы ряда. Пусть имеем ряд (1) (1) Из неприр. Ф-и, которая сх-ся на [a; b]

Пример: при х > 0 ^;

1) x=0 S_n(0)=0; S(0)=0; x< 0 S_n= ; S(x)=-1-x; Теорема 1: Сумма ряда неприр. ф-и мажорир. на [a, b] есть ф-я неприр. на этом отрезке.f(x) ; S(x)= S_n(x)+r_n(x) (2); (x+Δ x) [a; b]; Δ S-S(x+Δ x)-S(x)=S_n(x+Δ x)+r_n(x+Δ x)- S_n(x)- r_n(x)=Δ S_n+r_n(x+Δ x)- r_n(x); ; ; Т.к ряд мажорируем, то для , в силу мажорируемости ; ; U₁, U₂, …U_n – неприрыв; S_n- конечна и непрерывна; ;

; Из данной теоремы следует, что если сумма S_n разрывна на этом отрезке, то ряд (1) не мажорируем. Обратно не верно, сущ. Ряды не мажор. На отрезке, однако сх-ся на этом отрезке к неприр. ф-ии в частности всякий равномерно сх-ся имеет в кач-ве суммы неприрывную ф-ю.

43. Интегрирование и диф-ние функциональных рядов. U₁(х) + U₂(х) + U₃(х) +…+ U_n(х) +…, (1)

Теорема 1. Пусть имеем ряд непрерывных функций (1), мажорир. на отрезке [а, b], и пусть S(x) есть сумма этого ряда. Тогда интеграл от S(x) в пределах от до x, принадлежа­щих отрезку [а, b], равняется сумме таких же интегралов от членов данного ряда, т. е. Док-во. Функцию S(x) можно представить в виде

S(x) = S_n(x) + r_n(x) или S(x) = U₁(х) +…+ U_n(х) + r_n(x) Тогда (интеграл от суммы конечного числа слагаемых равен сумме интегралов от этих слагаемых).Так как исходный ряд (1) мажорируем, то при любом х имеем |r_n(x)| < _n, где _n 0 при n . Поэтому (в приводимых ниже оценках при < х берется знак +, а при х< — знак –.) Так как _n 0, то

Но из равенства (2) получаем: Следовательно, или

Сумма, стоящая в квадратных скобках, есть частичная сумма ряда

Поскольку частичные суммы этого ряда имеют предел, этот ряд сходится и его сумма в силу равенства (3) равна , т.е. а это и есть равенство, которое требовалось доказать.

Теорема 2. Если ряд (1), сост-й из ф-ий, имеющих непрерывные производные на отрезке [а, b], сходится на этом отрезке к сумме S(x) и ряд

сост-й из производных его членов, мажорируем на том же отрезке, то сумма ряда производных равна производной от суммы первоначального ряда, т. е. Док-во. Обозначим через F(x) сумму ряда (6):

и докажем, что Так как ряд (6) мажорируем, то на основании предыдущей теоремы

Производя интегрирование, будем иметь:

Но, по условию, каковы бы ни были числа х и на отрезке [а, b]. Поэтому

Дифференцируя по х обе части последнего равенства, получим:

Т. о., мы доказали, что при выполнении условий теоре­мы производная от суммы ряда равна сумме производных от чле­нов ряда.

44. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал сходимости и методы его определения. Степ ряд вида- a_n-постоянные числа.

Теорема Абеля: Если это степ. Ряд сходится при нек значении x₀! =0 То он абс. Сход. При всяком |x|< |x₀| Если ряд расх. При x₀^| то он сход для всякого |x|> |x₀| Предположим, что ряд сходится, соответственно Учитывая то, что функция, обладающая пределом, является ограниченной, можно обозначить Представим ряд в следующем виде . Для ряда, составленного из абсолютных величин его членов

запишем , при этом геометрическая прогрессия сходится при Получается, что, если в соответствии с первым признаком сравнения ряд сходится, то по признаку абсолютной сходимости ряд сходится абсолютно.

Далее предположим, что при ряд расходится. Допустим, что смысл теремы противоположен:

при нем ряд сходится. Однако в соответствии с представленным ранее доказательством ряд предполагает сходимость в т. . Данное противоречие доказывает теорему. Из теоремы Абеля следует, что если — точка сходимости ряда, то ряд сходится абсолютно во всех точках интервала Если — точка расходимости, то ряд расходится во всех точках интервалов Отсюда делаем вывод, что существует такое число R, что на (-R, R) ряд сходится абсолютно, а на расходится. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Т: Областью сходимости ряда (30.2) является интервал (-R, R), В каждой точке этого интервала ряд сходится абсолютно, а на интервалах — расходится

Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости ряда, a R — его радиусом сходимости. При х=+- R требуется дополнительное исследование.

определения радиуса сходимости ряда (Рассмотрим ряд из абсолютных величин его членови применим к нему признак Даламбера: Если то ряд из абсолютных величин членов сходится и ряд сходится абсолютно. Обозначим (30.4) При ряд расходится, так как общий член ряда не стремится к 0. Таким образом, формула (30.4) дает радиус сходимости