![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Дифференцирование степенных рядов
Теорема 1. Если степенной ряд s(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3...+ аnхn +...(1) имеет интервал сходимости (— Ry R), то ряд ϕ (x) = a1+ 2а2х + 3а3х2 +... + nаn 46. Ряды по степеням (x–a). К степенным рядам относятся:
|X| > R 47. Ряды Тейлора и Маклорена. Пусть задана фун. y=f(x) которая имеет все производные до (n+1) включительно в какой-то точки x0 принадлежащей некоторому промежутку Найдем такой многочлен y=Pn(x) значения которого в точке x0 равны значениям этой функции и причем производные любого порядка тоже равняются.Pn(x0) =f(x0); Pn / (x0) =f / (x0); …….. Pn(n)(x0) =f(n)(x0) (1) Pn(x)=C0+C1(x-x0)+C2(x-x0)2………Cn(x-x0)n ; Pn / (x)= C1+2C2(x-x0)………nCn(x-x0)n-1…………. Pn(n)(x)= n! Cn; С0=f(x0); 1*С1=f / (x0); 1*2С2=f // (x0); …………… n! Сn=f (n) (x0); Pn(x)=f(x0)+(f /(x0)(x-x0)) / (1!) +(f // (x0)(x-x0)2 ) / (2!)+……..+(f(n)(x0)(x-x0)n ) / (n!) ….(2) f(x)=Pn(x)+Rn(x) Можем показать что остаток Rn(x) при х→ х0 есть величина бесконечно малая большая чем (х-х0)n ; Rn(x)=0*((х-х0)n O малое.(3) Учитывая (2) и (3) получим f(x)= f(x0)+(f /(x0)(x-x0)) / (1!) +(f // (x0)(x-x0)2 ) / (2!)+….+(f(n)(x0)(x-x0)n ) / (n!)+0*((х-х0)n)… (4); (4)- формула Тейлора для фун. f(x) в окрестности точки х0 с дополнением(остаточным членом в форме Пеано) Полученная формула является обобщенной формулой для приращения функции f(x)= f(x0)+(f /(x0)(x-x0)) +0*((х-х0)n) (из (4) следует что n=1) Данное представление для f(x) в окрестности х0 является единственным.Пусть в окрестности х0 фун. f(x) имеет два представления f(x)=A0+A1(x-x0)+A2(x-x0)2+……An(x-x0)n +0*((х-х0)n)………..(5); f(x)=A0 /+A1 / (x-x0)+A2 / (x-x0)2+……An / (x-x0)n +0*((х-х0)n)……….(6); приравняем (5) и (6) и устремим х→ х0; (5)=(6)………………..(7); А0=А0 /…….Аn=Аn / х-х0=∆ х f(x)-f(x0)= ∆ y; ∆ y= (f /(x0) ∆ х) / (1!)+ (f // (x0) ∆ х 2 ) / (2!)+….+(f(n)(x0) ∆ х n ) / (n!)+0*(∆ х n)…….(8) Соотношение (8) является обобщенной формулой приращения функции ∆ f(x0)=f / (x0) ∆ х+0*(∆ х n) Рассмотрим (4) с остаточным членом в форме Лангранжа f(x)= f(x0)+(f /(x0)(x-x0)) / (1!) +(f // (x0)(x-x0)2 ) / (2!)+….+(f(n)(x0)(x-x0)n ) / (n!)+Rn(x)..(9); Rn(x)= {(x-x0)n+1 / ((n+1)!)}* fn+1(x0+Q(x-x0)) ……(10); 0< Q(x-x0)< 1. Если f(x) имеет производные всех порядков в окрестности точки х0 то в формуле Тейлора (9) число n можно брать сколь угодно большое, тогда ряд (9) сходится и фун. f(x) если 48. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.
49. Интегрирование дифур с помощью рядов. 1 способ: В исходный дифур. Подставляем y в виде степенного ряда. 2 способ(ур-е вида
|