Проверьте себя

1. Найдите в описании одной из современных технологий обучения «авторские» принципы обучения и сопоставьте их с общедидактическими принципами.

2. Чем является индивидуальный подход в дидактическом аспекте?

3. Как связаны индивидуальный подход в обучении и дифференцированное обучение?

4. Какие дети нуждаются в дифференцированном обучении и индивидуальном подходе?

5. Какие организационные формы деятельности учителя и учащихся выделены в дидактике? Дайте краткую характеристику каждой из них.

6. Что называют коллективными способами обучения?

7. Какие сочетания областей знания считаете удачными при проектировании интегрированных уроков. Чем отличаются интегрированные дисциплины от интегрированных уроков?

8. Какие виды самостоятельных работ выделены в дидактике? В чем сущность самостоятельной работы в учебном процессе?

9. Каково отличие самостоятельной работы и самостоятельной деятельности (познавательной)?

10. Какие требования предъявляются к домашней самостоятельной работе учащихся?

Лекция 24. Формирование логической культуры

План

1. Содержание логической подготовки младших школьников Понятие логического мышления школьника

2. Формирование приемов логического мышления у младших школьников: сравнения, аналогии, анализа и синтеза, классификации, обобщения

3. Способы обоснования истинности суждений – наблюдение, эксперимент, доказательство

4. Способы решения логических задач при изучении начального курса математики

5. Взаимосвязь логического и алгоритмического мышления школьников

Содержание логической подготовки младших школьников Понятие логического мышления школьника

Изучая математику в школе необходимо усвоить определенную систему понятий, предложений и доказательств. Чтобы овладеть этой системой и затем успешно применять приобретенные знания и умения, обучая младших школьников и решая задачу их развития средствами математики, нужно сначала понять, каковы особенности математических понятий, как устроены их определения, предложения, выражающие свойства понятий, и доказательства. Такие знания нужны учителю начальных классов еще и потому, что он первым вводит детей в мир математических знаний, и от того, как грамотно и успешно он это делает, зависит и отношение ребенка к изучению математики в целом.

Изучение этого материала связано с овладением теоретико-множественным языком, который будет использоваться не только при рассмотрении логической структуры математических понятий, предложений и доказательств, но и при построении всего курса математики начальной школы.

Стойлова Л.П. к элементам логики относит следующие разделы математического знания:

1. Множества и операции над ними. 2. Математические понятия. 3. Математические предложения. 4. Математическое доказательство. 5. Текстовая задача и процесс ее решения. 6. Комбинаторные задачи и их решения. 7. Алгоритмы и их свойства.

Рассмотрим линию логико-математических понятий и отно­шений.

Содержание этой линии представляют сле­дующие вопросы:

- высказывание; примеры различных верных и неверных высказываний; числовые равенства и неравенства как выска­зывания; свойства числовых равенств;

- предикаты – предложения с переменными; уравнение и неравенство как предложения с переменными;

- логические связки «и», «или», «если…, то», «верно/неверно, что»;

- слова - основа логической формы предложений: «каждый», «любой», «один из», «все», «некоторые», «все, кроме»;

- отношения «больше», «меньше», «равно»; геометрические отношения параллельности и перпендикулярности; свойства отношений.

Уравне­ние и неравенство, которые обычно относят к алгебраическим понятиям, мы связываем с логико-математической линией. Де­ло в том, что на уравнение и неравенство мы учим учеников смотреть гораздо шире, чем это принято в начальной школе, где традиционно х в уравнении или неравенстве - это лишь неиз­вестное число, которое нужно найти с помощью вычислений. Поэтому сами эти понятия у младших школьников недостаточ­но отчетливо сформированы. Так, уравнением многие дети счи­тают такие записи, как 5 + 7 ==12, х + 3, х -1 < 6.

В соответствии с логико-математическим подходом уравнение и неравенст­во предстают перед учащимися как математические примеры предложений с переменной. Подставляя вместо переменной различные ее значения (числа), дети получают высказывания, определяют, при каких значениях получившееся высказывание верное, а при каких - неверное. При этом вводятся понятия «корень уравнения» и «решение неравенства».

В математической логике высказыванием называют утверждение, о котором можно точ­но сказать, какое оно: истинное или ложное (термины «истинное», «ложное» будут вво­диться в четвертом классе; третьеклассники пользуются терминами «верное» и «неверное» высказывание и вместо термина «утверждение» употребляют слово «предложение»). Итак, вы­сказывание - это предложение, о котором мож­но сказать, верное оно или неверное. Так, выска­зывание «Москва - столица России» - верное, а высказывание «В июне 31 день» - неверное.

В учебнике приводятся примеры предложений, не являю­щихся высказываниями. О них нельзя сказать, верные они или неверные. Высказываниями не являются любые вопроситель­ные и восклицательные предложения (например: «Который час?», «С Новым годом!»), поговорки (обычно образные выра­жения, не составляющие законченного высказывания) или та­кие предложения, истинность которых в данный момент нельзя проверить (например, «Сегодня будет дождь»). Важно, чтобы дети поняли, что не каждое предложе­ние является высказыванием.

Как сказано выше, примерами высказываний являются числовые равенства и неравенства. Так, 15 + 25 = 40 - верное числовое равенство, а 28: 4 = 8 - неверное числовое равенст­во; числовое неравенство 135 > 70 верное, а числовое неравен­ство 20 • 8 < 100 неверное.

В третьем классе учащиеся знакомятся с простейшими свойствами числовых равенств и неравенств. Равенство (не­равенство) не нарушится, если к обеим его частям прибавить или из обеих его частей вычесть одно и то же число. Обе час­ти равенства или неравенства можно умножить или разде­лить на одно и то же натуральное число. На основе этих свойств можно легко решать некоторые виды уравнений. На­пример, уравнение 186 + х =35 + 186 легко решить, вычитая из обеих его частей число 186. Получится х =35. Корень ви­ден сразу: 35.

Теперь обратимся к предложениям, содержащим пере­менную.

О предложении, содержащем переменную, нельзя сказать, верно оно или неверно, пока не подставлено вместо переменной ее значение. Поэтому предложение с переменной высказы­ванием не является. Такое предложение в ма­тематической логике часто называют высказывательной формой (в третьем классе этот термин не используется).

Рассмотрим примеры. «Город Х находится в России». Если значением Х является Тула, то данное предложение становится верным высказыванием: «Город Тула находится в России». При другом значении Х предложение «Город Х нахо­дится в России» обращается в неверное высказывание. Так, если Х -Лондон, то высказывание «Город Лондон находится в России» неверное.

Формальное определение понятия «урав­нение» учащимся не дается, но они должны хорошо понимать, что уравнение - это, во-первых, равенство (т.е. в записи уравнения обязательно должен быть знак равенства =), во-вторых, в нем должна быть переменная; следовательно, уравнение - это равенство с переменной.

Введя термин «уравнение» и ознакомив детей с его смыс­лом, полезно предложить им прочитать записи: 3 + 4, 7 - х, 9+х=15, 24: 3° 8, х+4, х=3, 10 - 7 ° 3, найти среди них уравнение и доказать, что это уравнение.

Рассматривая записи, дети найдут среди них ту, которая является уравнением:

9 + х = 15. Далее надо проверить два усло­вия: 1) является ли оно равенством, 2) есть ли в нем переменная.

В зависимости от числа, которое подставляется вместо буквы, получается вер­ное или неверное равенство. Так, если в уравнение 3 + х = 9 вместо х подставить, например, 5, то получится неверное ра­венство 3+5=9. Можно подставить и другие числа. Но толь­ко при х, равном 6, получается верное равенство 3+6=9. Число 6 называют корнем этого уравнения. Термин «корень» вводится в третьем классе и входит в активный словарь учащихся.

Линия логико-математических понятий и отно­шений, представленная в курсе математики В.Н.Рудницкой, автора учебников математики в дидактической системе «Школа ХХI века», реализована успешно.

В данной дидактической системе используется прием, который можно назвать опережающей многолинейностью. Важнейшее значение придается постоянному использованию сопоставления, сравнения, противопоставления связанных между собой понятий, действий, задач, выяснению сходства в рассматриваемых фактах.

Линия логико-математического понятий и отношений проходит через все четыре года обучения, связывая воедино все разделы программы, способствуя развитию логического мышления школьников.

2. Формирование приемов логического мышления у младших школьников: сравнения, аналогии, анализа и синтеза, классификации, обобщения

Изучение математики влияет на развитие мышления школьников как никакой другой предмет.

Мышление – это психический познавательный процесс отражения существенных связей и отношений предметов и явлений объективного мира. Формами мышления являются понятие, суждение, умозаключение, аналогия. Мыслительными операциями являются анализ и синтез, сравнение, абстрагирование, классификация, обобщение и конкретизация. Выделяют индукцию и дедукцию как способы мышления. По разным основаниям выделяют такие виды мышления: наглядно-действенное, наглядно-образное, словесно-логическое; практическое и теоретическое; репродуктивное (воспроизводящее) и продуктивное (творческое). Теоретическое мышление – мышление на основе теоретических рассуждений и умозаключений. Практическое мышление – мышление на основе суждений и умозаключений, основанных на решении практических задач. (Крысько, с.116).

Развивать мышление – это значит:

- выделять существенные свойства предметов и абстрагировать их от несущественных;

- находить главные связи и отношения вещей и явлений окружающего мира;

- доказывать истинность своих суждений и опровергать ложные умозаключения;

- излагать свои мысли определенно, непротиворечиво и обоснованно;

- осуществлять перенос операций и приемов мышления из одной области в другую;

- предвидеть развитие явлений;

- делать обоснованные выводы (Айсмонтас, с.56)

Развитие мышления школьника тесно связано с формированием приемов мышления (мыслительных операций) в процессе учебной деятельности. Приемы мышления (сравнение, анализ, синтез, аналогия, классификация, обобщение и др.) выступают одновременно как специфические методы научного исследования.

Сравнение – это сопоставление объектов познания с целью нахождения сходства (выделения общих свойств) и различия (выделения особенных свойств) между ними. Сравнение лежит в основе всех других мыслительных операций.

Аналогия – индуктивное умозаключение, когда на основе сходства двух объектов по каким-то одним параметрам делается вывод об их сходстве по другим параметрам. В общем случае схематично рассуждение по аналогии выглядит так:

Объект А обладает признаками а₁, а₂, а₃, …аn, b.

Объект В обладает признаками а₁, а₂, а₃, …аn

Вероятно (возможно) объект В обладает признаком b.

Анализ – это мысленное расчленение предмета познаний на части.

Синтез – мысленное соединение отдельных элементов в единое целое. В реальном мыслительном процессе анализ и синтез всегда выполняются совместно.

Абстракция – это мысленное выделение каких-либо существенных свойств и признаков объектов при одновременном отвлечении от всех других их свойств и признаков. В результате абстракции выделенное свойство или признак становится предметом мышления.

Классификация – прием распределения по группам, разрядам, классам (чего или кого-либо). При разбиении множества на классы необходимо выполнение следующих условий: 1) ни одно из подмножеств не пусто; 2) подмножества попарно не пересекаются; 3) объединение всех подмножеств составляет данное множество.

Обобщение рассматривают как мысленное выделение:

общих свойств в двух или нескольких объектах и объединение этих объектов на основе выделенной общности;

существенных свойств объекта в результате анализа их в виде общего понятия для целого класса объектов.

Конкретизация также выступает в двух формах:

как мысленный переход от общего к единичному, частному;

как восхождение от абстрактно-общего к частному, путем выявления различных свойств и признаков объекта.

Основными компонентами математического образования в школе являются: 1) усвоение учениками определенного объема математических знаний; 2) овладение учениками определенными математическими умениями и навыками; 3) развитие мышления учащихся.

Формирование математического мышления школьников предполагает целенаправленное развитие всех качеств, присущих естественнонаучному мышлению, комплекса мыслительных умений, лежащих в основе методов научного познания, в органическом единстве с формами проявления мышления, характеризующихся спецификой предмета математики.

Выделяют следующие признаки математического мышления:

доминирование логической схемы рассуждения;

лаконизм мышления: предельная скупость, строгость мысли и ее изложения;

четкая расчлененность хода рассуждения;

точность символики.

Основными признаками культуры математического мышления считаются:

- освоение учеником идеи доказательства;

- умение пользоваться определениями понятий (осознавать их логическую структуру, уметь выполнять действие подведения под понятие и выведение следствий);

- владение общими логическими методами доказательства: аналитическим, синтетическим, методом от противного, полной индукцией, математической индукцией;

- владение частными методами и приемами, характерными для той или иной темы.

Для полноценного формирования у учащихся логико-математических понятий процесс усвоения соответствующих знаний и умений должен управляться учителем:

- необходимо целенаправленно заниматься обучением наиболее употребительным приемам доказательства, применению определений понятий;

- формировать умение выполнять логическое действие «подведение под определение»;

- знакомить учащихся с высказываниями (рассматривать не только верные, но и неверные высказывания),

- с предикатами (предложениями с переменными), с логическими связками (и,, или, если.., то, не/верно, что), со словами «каждый», «любой», «один из», «все», «некоторый», «все кроме», составляющие основу логической формы предложения, используемой в логических выводах.

Значительная оставляющая линия логического развития – обучение младших школьников классификации по заданным основаниям и проверки правильности его выполнения.

Аблова В.С выделяет следующие типы заданий по формированию логической линии в курсе математики начальной школы:

знание точно смысла слов и связок: и, или, все, каждый, некоторые;

умение сравнивать;

умение узнавать предмет по данным признакам;

умение устанавливать отношения общего и частного;

умение распределять предметы по определенным признакам группы (группировка предметов);

умение получать умозаключение;

умение обосновывать умозаключение;

умение составлять алгоритм.

В процессе развития логического мышления при изучении математики в начальной школе целесообразно познакомить учащихся с составляющими действиями каждого приема (мыслительной операции). Например.

3 Способы обоснования истинности суждений – наблюдение, эксперимент, доказательство

Формирование у учащихся умения осуществлять дедуктивные рассуждения является обязательным условием их подготовки. Под дедуктивными рассуждениями понимаются умения рассуждать, доказывать, делать вывод.

Суждения бывают единичными, частными и общими. Примеры: «Число 4 – однозначное»; «прямоугольник АВСD не является квадратом», «выражение 2+3 принимает значение 5» - единичные суждения.

В частных суждениях что-то утверждается или отрицается относительно некоторой совокупности предметов из данного класса. Например, «случаи сложения 23+4, 23+30, 23+7 выполняются на основе свойства прибавления числа к сумме».

В общих суждениях что-то утверждается или отрицается относительно всех предметов данной совокупности. Например: «при перестановке слагаемых сумма не изменяется».

Предложения, выражающие суждения, могут быть различными по форме: утвердительными, отрицательными, условными: («если число оканчивается на 0 или 5, то оно делится на 5»).

Суть дедуктивных рассуждений сводится к тому, что на основе некоторого общего суждения о предметах данного класса и некоторого единичного суждения о данном объекте высказывается новое единичное суждение о том же объекте. Общее суждение принято называть общей посылкой, первое единичное суждение – частной посылкой, новое единичное суждение – заключением.

Особенность дедуктивных рассуждений в начальных классах заключается в том, что они применяются в неявном виде, т.е. общая и частные посылки в большинстве случаев опускается, ученики сразу приступают к действию, которое соответствует заключению.