Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Тема 1. Парная линейная регрессия.






1. Рассчитайте оценки параметров парной линейной регрессии, где у – расходы на покупку продовольственных товаров, % к общему объему расходов, а х – среднемесячная заработная плата 1 работника, тыс. руб.

Параметры а и b линейной регрессии рассчитываются в результате решения системы нормальных уравнений относительно а и b:

По исходным данным рассчитаем .

Система нормальных уравнений составит:

Решаем ее методом определителей: определитель системы ∆ равен:

,

,

,

Получаем уравнение регрессии: .

Этот же результат можно получить, используя следующие формулы для нахождения параметров:

, ,

где - дисперсия по факторному признаку.


 

Таблица 1. – Расчетные данные

Номер региона х у ху у-
  4, 5 68, 8 309, 6 20, 25 4733, 44 67, 1 1, 7 2, 97 121, 629 86, 583 2, 84 2, 47
  5, 9 58, 3 343, 97 34, 81 3398, 89 59, 3 -1, 0 1, 10 0, 279 2, 487 0, 08 1, 72
  5, 7 62, 6 356, 82 32, 49 3918, 76 60, 4 2, 2 4, 61 23, 315 7, 189 0, 24 0, 51
  7, 2 52, 1 375, 12 51, 84 2714, 41 52, 2 -0, 1 0, 01 32, 165 31, 346 1, 03 0, 19
  6, 2 54, 5 337, 9 38, 44 2970, 25 57, 7 -3, 2 10, 19 10, 702 0, 006 0, 00 5, 87
    57, 1 342, 6   3260, 41 58, 8 -1, 7 2, 88 0, 451 1, 051 0, 03 2, 98
  7, 8   397, 8 60, 84 2601, 00 48, 9 2, 1 4, 58 45, 852 79, 399 2, 61 4, 12
Сумма 43, 3 404, 4 2463, 81 274, 67 23597, 16 404, 4   26, 33 234, 39 208, 06 6, 83 20, 86
Среднее значение 6, 186 57, 77 351, 97 39, 24 3371, 02 - - - - - - -

 

 


Однако, оперируя средними величинами, мы можем столкнуться с ошибками округления. Действительно, . Соответственно не совпадает и величина параметра , т.е.

При решении с помощью компьютера уравнение регрессии составило: .

Величина коэффициента регрессии означает, что с ростом заработной платы на 1 тыс. руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 5.5 % - х пункта.

1. Оцените тесноту связи между признаками.

Линейное уравнение регрессии дополняется расчетом линейного коэффициента корреляции:

или .

Так как то , что означает тесную обратную связь рассматриваемых признаков.

2. Рассчитайте коэффициент детерминации.

Коэффициент детерминации составит: , т.е. вариация у на 88, 8 % объясняется вариацией х. На долю прочих факторов, не учитываемых в регрессии, приходится 11, 2 %.

3. Проверьте значимость оценки коэффициента регрессии с помощью критерия Стьюдента при уровне значимости α =0, 05.

Оценку статистической значимости коэффициента регрессии проведем с помощью t - критерия Стьюдента.

Выдвигаем две гипотезы:

Н0 – коэффициент регрессии является статистически незначимым, т.е. b=0;

Н1 – коэффициент регрессии статистически значим, т.е. b≠ 0.

Определим стандартную ошибку для коэффициента регрессии mb:

.

Далее вычисляем значения t – критерия Стьюдента:

.

Фактическое значение t – критерии превосходит табличное значение на 5 %-м уровне значимости при числе степеней свободы =5: tтабл = 2, 57. Поэтому гипотеза Н0 отклоняется, т.е. b отличается от нуля не случайно и коэффициент регрессии является статистически значимым.

4. Постройте доверительный интервал для коэффициента регрессии.

Рассчитаем доверительный интервал для коэффициента регрессии, для чего определим предельную ошибку для параметра b.

.

Доверительные интервалы: , т.е.

Анализ верхней и нижней границ доверительного интервала приводит к выводу о том, что с вероятностью 95% коэффициент регрессии, находясь в указанных границах, не принимает нулевых значение, т.е. не является статистически незначимым и существенно отличен от нуля.

5. Составить таблицу дисперсионного анализа.

Результаты дисперсионного анализа приведены в таблице 2.

 

Таблица 2. – Таблица дисперсионного анализа

Вариация результата Число степеней свободы Сумма квадратов отклонений Дисперсия на одну степень свободы F - критерий
факт. табл.
Общая   234, 39      
Факторная   208, 06 208, 06 39, 5 6, 61
Остаточная   26, 33 5, 27    

 

6. Оцените с помощью F – критерия Фишера-Снедекора значимость уравнения линейной регрессии.

В силу того, что Fфакт=39, 5> Fтабл=6, 61, гипотеза о случайности различий факторной и остаточной дисперсий отклоняется. Эти различия существенны, статистически значимы, уравнение значимо, показатель тесноты связи надежен и отражает устойчивую зависимость расходов на покупку продовольственных товаров от среднемесячной заработной платы.

8. Рассчитайте, каковы будут расходы на покупку продовольственных товаров, если среднемесячная заработная плата составит 8 тыс. руб.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если примем прогнозное значение среднемесячной заработной платы х=8, то точечный прогноз расходов составит: % - х пункта.

Чтобы получить интервальный прогноз, найдем стандартную ошибку предсказываемого значения расходов .

;

где - стандартная ошибка регрессии.

Предельная ошибка прогнозируемого расхода составит:

.

Доверительный интервал прогнозируемого расхода составит:

,

т.е. при среднемесячной заработной плате, равной 8 тыс. руб., расходы на покупку продовольственных товаров составят не меньше чем

% - х пункта

и не больше чем

% - х пункта.

9. Рассчитайте средний коэффициент эластичности.

Средний коэффициент эластичности для линейной регрессии рассчитывается по формуле:

.

Таким образом, получаем, что с ростом среднемесячной заработной платы на 1 % расходы на покупку продовольственных товаров снижаются на 4, 14 %.

10. Определить среднюю ошибку аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации находится как средняя арифметическая простая из индивидуальных ошибок:

,

(см. последнюю графу расчетной таблицы 1).

Ошибка аппроксимации показывает хорошее соответствие расчетных и фактических данных: среднее отклонение составляет 2, 98 %.

 


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.01 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал