Тема 2. Нелинейная регрессия

1. Рассчитать параметры следующих функций:

- степенной;

- равносторонней гиперболы;

- показательной.

2. Найти показатели тесноты связи по каждой модели.

3. Оценить каждую модель через показатель детерминации, F – критерий Фишера, ошибку аппроксимации и выбрать наилучшую из них.

Регрессия в виде степенной функции имеет вид: .

Для оценки параметров модели линеаризуем модель путем логарифмирования:

.

Обозначим . Тогда получим: . Для расчетов составим таблицу 3.

Таблица 3.

Номер региона	X	Y	ХY
	1, 504	4, 231	6, 364	2, 262	17, 901	4, 228	68, 6	0, 04	0, 29
	1, 775	4, 066	7, 217	3, 151	16, 532	4, 071	58, 6	0, 09	0, 51
	1, 740	4, 137	7, 198	3, 029	17, 115	4, 092	59, 9	7, 29	4, 31
	1, 974	3, 953	7, 803	3, 897	15, 626	3, 957	52, 3	0, 04	0, 38
	1, 825	3, 948	7, 296	3, 329	15, 984	4, 042	56, 9	5, 76	4, 40
	1, 792	4, 045	7, 249	3, 211	16, 362	4, 062	58, 1	1, 00	1, 75
	2, 054	3, 932	8, 076	4, 219	15, 461	3, 910	49, 9	1, 21	2, 16
Сумма	12, 664	28, 362	51, 203	23, 098	114, 98	28, 362	404, 3	15, 43	13, 80
Среднее значение	1, 809	4, 052	7, 315	3, 300	16, 426	-	-	-	-

Запишем систему нормальных уравнений:

.

Отсюда , ; ,

Получаем уравнение регрессии: .

Выполнив потенцирование, получим:

.

Параметр означает коэффициент эластичности, который показывает, что с ростом зарплаты на 1 % доля расходов на продовольствие снижается на 0, 58 %.

Теоретические значения зависимой переменной получим, подставив в уравнение значения х и потенцируя значения . В таблице 3. представлены и .

Показателем тесноты связи выступает индекс корреляции:

.

Величина представлена в таблице 3: .

.

В результате имеем:

.

Коэффициент детерминации равен: , т.е. 93, 93 % вариации у объясняется вариацией х, на долю прочих факторов приходится 6, 07 %.

F – критерий Фишера составит:

.

Эта величина превышает табличное значение на 5 %-м уровне значимости (F_табл=6, 61). Следовательно, найденное уравнение регрессии статистически значимо.

Для расчета средней ошибки аппроксимации воспользуемся последней графой таблицы 3.

т.е. среднее отклонение фактических и расчетных значений у составляет 2 %, что свидетельствует о хорошем качестве модели.

Регрессия в виде показательной функции имеет вид: .

Для оценки параметров модели линеаризуем модель путем логарифмирования:

.

Обозначим . Тогда получим: . Для расчетов составим таблицу 4.

Таблица 4.

Номер региона	х	Y	xY				y-	(y- )2	(y- )2
	4, 5	4, 23	19, 04	20, 25	4, 21	67, 35	1, 45	2, 11	121, 63	2, 111464
	5, 9	4, 07	23, 99	34, 81	4, 08	59, 06	-0, 76	0, 57	0, 28	1, 296827
	5, 7	4, 14	23, 58	32, 49	4, 10	60, 17	2, 43	5, 88	23, 32	3, 873993
	7, 2	3, 95	28, 46	51, 84	3, 96	52, 27	-0, 17	0, 03	32, 17	0, 33356
	6, 2	4, 00	24, 79	38, 44	4, 05	57, 42	-2, 92	8, 51	10, 70	5, 351722
		4, 04	24, 27		4, 07	58, 50	-1, 40	1, 97	0, 45	2, 459651
	7, 8	3, 93	30, 67	60, 84	3, 90	49, 41	1, 59	2, 52	45, 85	3, 113949
Сумма	43, 3	28, 36	174, 80	274, 67	28, 36	404, 19		21, 60	234, 39	18, 54
Средняя	6, 19	4, 05	24, 97	39, 24

Запишем систему нормальных уравнений:

.

В результате:

Получаем уравнение регрессии: . Теперь потенцируем оба параметра, чтобы получить уравнение регрессии в форме показательной кривой:

.

Теоретические значения зависимой переменной получим, подставив в уравнение значения х и потенцируя значения . В таблице 4. представлены и .

Показателем тесноты связи выступает индекс корреляции:

.

Величина представлена в таблице 4: .

.

В результате имеем:

.

Коэффициент детерминации равен: , т.е. 90, 24 % вариации у объясняется вариацией х, на долю прочих факторов приходится 9, 76 %.

F – критерий Фишера составит:

.

Эта величина превышает табличное значение на 5 %-м уровне значимости (F_табл=6, 61). Следовательно, найденное уравнение регрессии статистически значимо.

Для расчета средней ошибки аппроксимации воспользуемся последней графой таблицы 4.

т.е. соответствие фактических и расчетных значений зависимой переменной хорошее и соответственно хорошее качество модели.

Регрессия в виде равносторонней гиперболы имеет вид: .

Чтобы оценить параметры уравнения приведем модель к линейному виду, заменив . Тогда . Применяя МНК, получаем систему нормальных уравнений:

Для расчета параметров составим таблицу 5.

Таблица 5.

Номер региона	у		yz
	68, 8	0, 222	15, 289	0, 049	69, 9	-1, 1	1, 21	1, 60
	58, 3	0, 170	9, 881	0, 029	58, 5	-0, 2	0, 04	0, 34
	62, 6	0, 175	10, 983	0, 031	59, 8	2, 8	7, 84	4, 47
	52, 1	0, 139	7, 236	0, 019	51, 9	0, 1	0, 01	0, 19
	54, 5	0, 161	8, 790	0, 026	56, 7	-2, 2	4, 84	4, 04
	57, 1	0, 167	9, 517	0, 028	57, 9	-0, 8	0, 64	1, 40
	51, 0	0, 128	6, 538	0, 016	49, 6	1, 4	1, 96	2, 75
Сумма	404, 4	1, 162	68, 234	0, 198	404, 4		16, 54	14, 79

Запишем систему нормальных уравнений:

.

Отсюда , ; ,

Получаем уравнение регрессии: .

Показателем тесноты связи выступает индекс корреляции:

.

Величина представлена в таблице 5: .

.

В результате имеем:

.

Коэффициент детерминации равен: , т.е. 92, 94 % вариации у объясняется вариацией х, на долю прочих факторов приходится 7, 06 %.

F – критерий Фишера составит:

.

Эта величина превышает табличное значение на 5 %-м уровне значимости (F_табл=6, 61). Следовательно, найденное уравнение регрессии статистически значимо.

Для расчета средней ошибки аппроксимации воспользуемся последней графой таблицы 5.

т.е. среднее отклонение фактических и расчетных значений у составляет 2 %, что свидетельствует о хорошем качестве модели.

Выберем наилучшую модель, для чего объединим результаты построения парных регрессий в одну таблицу.

Таблица 6. - Сводная таблица построенных уравнений

Уравнение регрессии	Коэффициент детерминации	F – критерий Фишера	Средняя ошибка аппроксимации, %
	0, 9393	77, 4	1, 97
	0, 9024	46, 24	2, 65
	0, 9294	65, 8	2, 11

Все уравнения регрессии достаточно хорошо описывают исходные данные. Некоторое предпочтение можно отдать степенной функции, для которой значение коэффициента детерминации наибольшее, а ошибка аппроксимации – наименьшая.