Законы коммутации и начальные условия

Высказанные выше положения о том, что запас энергии магнитного или электрического поля может изменяться только плавно, без скачков, выражают принцип непрерывности во времени потокосцепления индуктивности и электрического заряда емкости и называются законами коммутации.

Невозможность скачкообразного изменения потокосцепления следует из того, что в противном случае на индуктивности появилось бы бесконечно большое напряжение , что лишено физического смысла. Ввиду равенства принцип непрерывности потокосцепления означает, что при неизмененном L ток i не может изменяться скачком. Итак, в начальный момент после коммутации ток в индуктивности остается таким же, каким он был непосредственно перед коммутацией, а затем плавно изменяется.

Аналогично невозможность скачкообразного изменения электрического заряда q следует из того, что в противном случае через емкость проходил бы бесконечно большой ток , что так же лишено физического смысла. Ввиду равенства принцип непрерывности электрического заряда означает, что при неизменном С напряжение не может изменяться скачком. Итак, в начальный момент после коммутации напряжение на емкости остается таким же, каким оно было непосредственно перед коммутацией, а затем плавно изменяется.

При этом следует отметить что, в цепях с идеализированными сосредоточенными параметрами скачкообразно могут изменяться: 1) токи в сопротивлениях и емкостях; 2) напряжения на сопротивлениях и индуктивностях.

Значения тока в индуктивности и напряжения на емкости в момент коммутации называются независимыми начальными условиями.

Обычно принимают, что коммутация происходит в момент времени t=0; тогда ток в индуктивности и напряжение на емкости в момент времени непосредственно перед коммутацией обозначаются через и , а в начальный момент переходного процесса после коммутации – через и .

На основании законов коммутации

;

.

Эти равенства выражают начальные условия цепи, в которых происходит коммутация.

При нулевых начальных условиях, т.е. когда и индуктивность в начальный момент после коммутации равносильна разрыву цепи, а емкость равносильна короткому замыканию.

При ненулевых начальных условиях, т.е. когда и , индуктивность в первый момент t=0 равносильна источнику тока , а емкость равносильна источнику Э.Д.С. .

Независимые начальные условия характеризуют энергию магнитного и электрического полей, запасенную к моменту коммутации, и для расчета переходного процесса обязательно требуется знание этих начальных условий, причем совершенно безразлично, каким образом эти условия в цепи были созданы.

При расчете переходных процессов в разветвленных электрических цепях наряду с независимыми начальными условиями используют так называемые зависимые начальные условия, а именно значения токов, напряжений и их производных в начальный момент времени (t=0). Методика вычисления зависимых начальных условий и их использование в расчете описании в §13.7.

До сих пор нами исключались из рассмотрения случаи коммутации, при которых неизбежно возникает между контактами искра или дуга. Один из таких случаев проиллюстрирован на рис.3-1, а. До коммутации ток проходит через индуктивность и контакт, шунтирующий индуктивность ; ток равен нулю. В момент t=0 контакт размыкается и индуктивности и оказываются включенными последовательно; ток в них принудительно становится одинаковым. Поскольку в момент коммутации ток в не изменяется, а ток в равен нулю, то в силу первого закона Кирхгофа ток должен замкнуться через дугу, образовавшуюся между контактами. Кроме того, если под подразумевать реальную катушку, то ток может частично замкнуться и через межвитковую емкость.

а) б)

Рис. 13.1 Случаи размыкания (а) или замыкания (б) при частичной потере энергии.

После быстрого погасания дуги токи в и уравниваются. Эта начальная стадия переходного процесса протекает столь быстро, что ею практически можно пренебречь, считая, что токи в и уравниваются мгновенно. Именно в этом смысле можно условно говорить о скачкообразном изменении токов в индуктивностях, которое предшествует исследуемому переходному процессу в цепи. При этом для расчета переходного процесса используется принцип непрерывности суммарного потокосцепления при коммутации, т.е. . Скачкообразное изменение токов и соответствующих им потоков в и в момент коммутации не сопряжено в данном случае с наведением бесконечно большой суммарной э.д.с. самоиндукции, поскольку суммарное потокосцепление не претерпевает скачкообразного изменения. При новых значениях токов в и магнитная энергия, запасенная в катушках, будет меньше энергии запасенной до коммутации. Часть энергии превратиться в тепло в искре, а также излучится.

Найденный таким образом ток i(0) в и может рассматриваться как независимое начальное условие для расчета переходного процесса во всей цепи рис. 13-1, а после разрыва дуги.

При коммутациях в цепях с емкостями при отсутствии сопротивлений также возможны весьма быстрые перераспределения зарядов, условно рассматриваемые как мгновенные. В этом случае применим принцип постоянства суммарного заряда. Полученные при этом значения зарядов и напряжений на отдельных емкостях используются в расчете последующего переходного процесса как независимые начальные условия.

Например, в случае схемы рис.13-1, б принцип постоянства суммарного заряда до и после коммутации выражается равенством:

.

При сделанном допущении в остальной электрической цепи, соединенной с емкостями, не возникает бесконечно большого тока, так как суммарный заряд не изменяется скачкообразно при t=0.

В процессе рассматриваемой коммутации энергия электрического поля уменьшается, так как часть ее превратится в тепло в очень малом сопротивлении проводника при очень большом токе, а также может вылиться в искре и излучиться.